1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 4 / Демидов СРС_4_Демидов_8512_после КТ1

Федеральное агентство по образованию

Томский политехнический университет

Кафедра Оптимизации систем управления

Отчет по выполнению самостоятельной работы студента №4

«вторая геометрическая интерпретация»

Выполнил студент группы 8512

Демидов А. С.

Принял к.т.н., доцент

Ротарь В. Г.

Томск – 2004

1. Сформировать задачу раскроя материалов (см. решение СРС 3) с матрицей условий размерностью [2;5]

Ограничивающие условия:

По изделию C: ;

По изделию B: ;

;

Целевая функция: .

2. Решить задачу ЛП размерностью [2;5] геометрически в пространстве условий, когда уравнения ограничений записаны в канонической форме (в виде равенства)

;

;

.

2.1. Проекция сечения конуса плоскостью :

Для построения данной проекции необходимо найти точки встречи конуса и плоскости . Для этого будем рассматривать по одному лучу конуса, находя соответствующие значения из равенства и умножая их на соответствующие коэффициенты в .

Таблица 1. Точки встречи конуса и плоскости .

	Значение	Значение
	3’595	599,17
	898,75	299,58
	8’987,5	898,75
	3’595	898,75
	8’388,33	1’189,33

График, демонстрирующий сечение конуса плоскостью .

2.2. Проекция сечения конуса плоскостью :

Выполняется аналогично предыдущему пункту.

Таблица 2. Точки встречи конуса и плоскости .

	Значение	Значение
	3’595	599,17
	898,75	299,58
	8’987,5	898,75
	3’595	898,75
	8’388,33	1’189,33

График, демонстрирующий сечение конуса плоскостью .

Выводы из проекций: в обеих проекциях одно значение целевой функции, которое единственное (соответствует варианту ):

при минимизации целевой функции составит примерно 447;

при максимизации целевой функции – 742.

2.3. Определение структуры опорного плана (базиса) на основе геометрического представления. Опорный план:

;

.

Остальные лучи, а именно луч соответствующий переменной , является линейно зависимым, то есть выражается через другие лучи (другие переменные).

Качественное решение задачи ЛП при максимизации и минимизации целевой функции будет следующим:

При максимизации: целевая функция равна примерно 742, а оптимальные переменные: .

При минимизации: целевая функция равна примерно 473, а оптимальные переменные: .

2.4. Значения базисных переменных оптимального плана.

Значения переменных находим из системы уравнений с двумя неизвестными.

Для максимизации целевой функции:

Решая данную систему уравнений, найдем, что , а . Целевая функция будет равна соответственно .

Для минимизации целевой функции:

Решая данную систему уравнений, найдем, что , а . Целевая функция будет равна соответственно .

3. Решить задачу (max, min) для задачи, когда ограничения записаны в форме неравенства ():

;

;

.

При минимизации целевой функции все . Так как минимум будет в нулевой точке пересечения координат.

При максимизации целевой функции, в моем случае, ответ будет , , а целевая функция .

4. Возможные варианты:

4.1. – единственное решение задачи линейного программирования. Данный случай демонстрируется выше.

4.2. – бесконечное множество решений. Все векторы линейно зависимы, при этом вектор ограничения должен пройти строго через полученную прямую. На проекции данный случай представляет точку.

При этом и минимум, и максимум целевой функции будут совпадать.

4.3. – нет решения, целевая функция не ограничена сверху либо снизу. Проекция дает незамкнутую фигуру либо сверху, либо снизу.

4.4. – система условий несовместна. На проекции вектор ограничений не пересекается (проходит мимо) выпуклой фигуры.