1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 4 / Морланг SelfWork4MorlangOlga8512
.doc
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
Кафедра оптимизации систем управления
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Интерпретация задачи линейного программирования в пространстве условий
Выполнила
Студентка О.В.Морланг
IV курс, группа 8512
« 27 » ноября 2004 г.
Проверил
В.Г.Ротарь
«__» _______ 200 __ г.
Томск, 2004
4.1. Сформировать задачу раскроя материалов из СРС-3 с матрицей условий размерностью [2;5].
Ограничения из самостоятельной работы № 3 выглядят следующим образом:
6*Х1 + 4*Х2 + 6*Х3 + 2*Х4 + 13*Х5 = 1605;
6*Х1 + 5*Х2 + 10*Х3 + 8*Х4 + 2*Х5 = 1302;
Целевая функция:
Z(x) = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 min
4.2. Решить задачу линейного программирования размерностью [2;5] геометрически в пространстве условий, когда уравнения ограничений записаны в канонической форме (в виде равенства).
U1 = 6*Х1 + 4*Х2 + 6*Х3 + 2*Х4 + 13*Х5 = 1605;
U2 = 6*Х1 + 5*Х2 + 10*Х3 + 8*Х4 + 2*Х5 = 1302
U3 = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 min(max)
4.3. Найти решение задачи линейного программирования проекции для двух сечений конуса:
4.3.1. Проекция сечения конуса плоскостью U1 = b1.
4.3.2. Проекция сечения конуса плоскостью U2 = b2.
Полученные результаты сравнить.
4.3.1. Проекция сечения конуса плоскостью U1 = b1.
Проекция (см.график 1) построена с помощью нахождения точек встречи конуса и плоскости U1 = b1. Для этого мы рассмотрели по одному лучу конуса, находя соответствующие значения Xi из равенства U1, умножая их на соответствующие коэффициенты в U2.
-
Точки встречи луча с секущей плоскостью U1:
1302; 1042; 781,2; 325,5; 8463.
-
Точки встречи луча с секущей плоскостью U0:
217; 260; 130; 163; 651.
-
П
График 1. Проекция сечения конуса плоскостью U1 = b1
рямая U1 = b1= 1605.
Для нахождения точки минимума q и максимума Q найдём точки пересечения прямой U1 с прямыми DЕ[(325,5; 163); (8643; 651)] и АЕ [(1302;217); (8643; 651)].
Составляем каноническое уравнение с неизвестной точкой Х:
(U1 – D1)/(E1-D1) = (X – D2)/(E2 – D2)
(1605 – 325,5)/(8463 – 325,5) = (X – 163)/(651 – 163)
X = 239,5
Точка Q имеет координаты (1605; 239,5).
(U1 – А1)/(E1-А1) = (X – А2)/(E2 – А2)
(1605 – 1302)/(8463 – 1302) = (Х – 217)/(651 – 217)
Х = 235,4
Точка q имеет координаты (1605; 235,4).
4.3.2. Проекция сечения конуса плоскостью U2 = b2.
Аналогично случаю 4.3.1.:
-
Точки встречи луча с секущей плоскостью U1:
1605; 2006,25; 2675; 6420; 246,9231.
-
Точки встречи луча с секущей плоскостью U0:
267; 401,25; 267,5; 802,5; 123,4615.
-
П рямая U2 = b2= 1302.
График
2. Проекция сечения конуса плоскостью
U2
= b2
Для нахождения точки минимума q и максимума Q найдём точки пересечения прямой U2 с прямыми ED[(246,9231; 123,4615); (6420; 802,5)] и EA [(246,9231; 123,4615); (1605; 267,5)].
Составляем каноническое уравнение с неизвестной точкой Х:
(U2 – E1)/(D1-E1) = (X – E2)/(D2 – E2)
(1302 – 246,9231)/(6420 – 246,9231) = (X – 123,4615)/(802,5 – 123,4615)
X = 235
Точка q имеет координаты (1302; 235).
(U2 – E1)/(A1-E1) = (X – E2)/(A2 – E2)
(1302 – 1302)/(8463 – 1302) = (Х – 217)/(651 – 217)
Х = 239,5
Точка Q имеет координаты (1302;239,5).
Сравнивая полученные значения, обнаружим, что целевая функция имеет максимумом и минимумом одни и те же точки, 239,5 и 235 соответственно, независимо от условий.
4.3.3. Найти качественное решение задачи линейного программирования при максимизации и минимизации целевой функции Z(х), определить структуру опорного плана (базиса) на основе геометрического представления.
Опорный базис:
6*Х1 + 4*Х2 + 2*Х4 + 13*Х5 = 1605;
6*Х1 + 5*Х2 + 8*Х4 + 2*Х5 = 1302;
При максимизации целевая функция достигает значения 239,52. Оптимальными переменными, при этом, являются Х4 и Х5.
При минимизации целевая функция достигает значения 235. Оптимальными переменными, при этом, являются Х1 и Х5.
4.3.4. Найти значения базисных переменных оптимального плана Х* и Z(Х*) для обоих случаев (max, min).
Для нахождения значений базисных переменных решаем следующие системы уравнений:
Для максимизации целевой функции:
2Х4 + 13Х5 = 1605;
8Х4 + 2Х5 = 1302.
Х4 = 137,16; Х5 = 102,36.
Z(X) = 239,52.
Для минимизации целевой функции:
6Х1 + 13Х5 = 1605;
6Х1 + 2Х5 = 1302.
Х1 = 207; Х5 = 28.
Z(X) = 235.
4.4. Решить задачу (max, min) для задачи, когда ограничения записаны в форме неравенства ().
U1 = 6*Х1 + 4*Х2 + 6*Х3 + 2*Х4 + 13*Х5 ≤ 1605;
U2 = 6*Х1 + 5*Х2 + 10*Х3 + 8*Х4 + 2*Х5 ≤ 1302;
U3 = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 min(max).
Z(X)min = 0, т.к. Хi(i = 1,5) = 0.
Z(X)max = 239,52, т.к. Х4 и Х5, в нашем случае, равны 137,16 и 102,36 соответственно.
4.5. Записать аналитически уравнения задачи ЛП и отобразить в пространстве условий для следующих вариантов
4.5.1. А1 - единственное решений задачи линейного программирования
Случай, рассматриваемый в вышеприведённом решении.
4.5.2. А2 - бесконечное множество решений.
В данном случае рассматриваемая фигура конуса будет представлять собой прямую, с которой совпадает целевая функция. Строго через эту прямую проходит вектор ограничения. Все векторы линейно зависимы. В пространстве условий данный случай представляет точку (см. график 3). Максимум и минимум целевой функции в этом случае совпадают.
График
3. Бесконечное множество решений в
пространстве условий
4.5.3. В1 – нет решения, целевая функция не ограничена сверху (max Z(x)) либо снизу (min Z(x)).
Полученная фигура (см.график 4) не ограничена либо снизу, либо сверху.
График
4. Неограниченная целевая функция в
пространстве условий
4.5.4. В2 – система условий несовместна.
В этом случае мы имеем несовместимость условий, т.е. вектор ограничений не имеет общей области с пространством условий.