1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 4 / Солнцева Светлана,CPC 4_Солнцева Светлана, гр.8512

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ОСУ

Самостоятельная работа студента №4

Интерпретация задачи линейного программирования в пространстве условий.

Выполнила: студентка группы 8512

Солнцева Светлана Сергеевна

Проверил: Ротарь В.Г.

ТОМСК

2004

ЗАДАНИЕ

Решить задачу линейного программирования для индивидуального задания (СРС №4):

1. Сформировать задачу раскроя материалов (см. задание СРС №3) с матрицей условий размерностью [2;5]. Необходимо сократить число условий СРС 3 до двух, т.е. записать задачу с матрицей А в форме[2;5]. Для этого необходимо выбрать только те два ограничения из трех, сгенерированных в СРС №3 для деталей А, В и С, для которых производственные задания b_i максимальны. Для формального выбора следует вычислить max(b_А+b_В; b_В+b_С; b_А+b_С) и выбрать соответствующие два уравнения (детали) и интерпретировать их в пространстве условий.

2. Решить задачу ЛП размерностью [2;5] геометрически в пространстве условий, когда уравнения ограничений записаны в канонической форме (в виде равенства)

Найти решение задачи ЛП, построив проекции для двух сечений конуса:

1. Проекция сечения конуса плоскостью U₁ =b_1.

2. Проекция сечения конуса плоскостью U₂ =b₂. Полученные результаты сравнить.

3. Найти качественное решения задачи ЛП при максимизации и минимизации целевой функции Z(x), определить структуру опорного плана (базиса) на основе геометрического представления.

4. Найти значения базисных переменных оптимального плана Х* и Z(X*) для обоих случаев (max, min)

3. Решить задачу (max, min) для задачи, когда ограничения записаны в форме неравенства ().

Привести задачу к канонической форме. Выполнить действия, аналогичные пункту 2.

4. Записать аналитически уравнения задачи ЛП и отобразить в пространстве условий для следующих вариантов:

4.1. А₁ - единственное решений задачи линейного программирования.

4.2. А₂ - бесконечное множество решений

4.3. В₁ – нет решения, целевая функция не ограничена сверху (max Z(x)) либо снизу (min Z(x))

4.4. В₂ – система условий несовместна.

ХОД РАБОТЫ.

1. Формируем задачу раскроя материалов (см. задание СРС №3) с матрицей условий размерностью [2;5].

z(x) = x₁ + х₂ + x₃ + х₄ + x₅ => min, при условиях, что:

Изделие В: 4x₁ + 2х₂ + 6x₃ + 6х₄ + 3x₅ ≥ 1991

Изделие А: 6x₁ + 4х₂ + 2x₃ + 3х₄ + 6x₅ ≥ 1292

2. Решим задачу ЛП размерностью [2;5] геометрически в пространстве условий, когда уравнения ограничений записаны в канонической форме (в виде равенства).

U₁ =­­ 4x₁ + 2х₂ + 6x₃ + 6х₄ + 3x₅ = 1991

U₂ = 6x₁ + 4х₂ + 2x₃ + 3х₄ + 6x₅ = 1292

U₃ = x₁ + х₂ + x₃ + х₄ + x₅ => min (max)

Для отыскания решения необходимо построить сечение плоскостью, проходящее через уравнение правой части. Сечение представляет собой выпуклый многоугольник.

1. Проекция сечения конуса плоскостью . Строим секущую плоскость, которая проходит через b₁ и параллельная плоскости U₂OU₃. Для построения данной проекции необходимо найти точки встречи лучей конуса с секущей плоскостью.

	Значения хj из уравнения U1	Значение	Значение
= (4, 6, 1)		2986,5	497,75
= (2, 4, 1)		3982	995,5
= (6, 2, 1)		663,67	331,83
= (6, 3, 1)		995,5	331,83
= (3, 6, 1)		3982	663,67

2. Проекция сечения конуса плоскостью . Строим секущую плоскость, которая проходит через b₂ и параллельная плоскости U₁OU₃. Для построения данной проекции необходимо найти точки встречи лучей конуса с секущей плоскостью.

	Значения хj из уравнения U2	Значение	Значение
= (4, 6, 1)		861,33	215,33
= (2, 4, 1)		646	323
= (6, 2, 1)		3876	646
= (6, 3, 1)		2584	430,67
= (3, 6, 1)		646	215,33

Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод о том, что и в проекции U₁ = b₁, и в проекции U₂ = b₂ целевая функция U₃ принимает одно и тоже значение, которое соответствует варианту :

• при минимизации целевой функции 356,54 ≈ 357;

• при максимизации целевой функции 457,5 ≈ 458.

3. Найдем качественное решения задачи ЛП при максимизации и минимизации целевой функции Z(x) и определим структуру опорного плана (базиса) на основе геометрического представления.

Качественное решение задачи ЛП при максимизации целевой функции z(x) состоит в том, что кроить материал следует по картам раскроя № 2 и 3 в количестве 458 листов, из них по карте №2 189 листов, а по карте №3 269 листов.

Качественное решение задачи ЛП при минимизации целевой функции z(x) состоит в том, что кроить материал следует по картам раскроя № 1 и 4 в количестве 357 листов, из них по карте №1 74 листа, а по карте №4 283 листа.

На основе геометрического представления мы получили качественную картину структурного опорного плана:

U₁ =­­ 4x₁ + 2х₂ + 6x₃ + 6х₄

U₂ = 6x₁ + 4х₂ + 2x₃ + 3х₄

U₃ = x₁ + х₂ + x₃ + х₄

Т.е. лучи, образующие грани, являются базисными (не равными 0), следовательно, луч, соответствующий переменной х₅, является линейно зависимым, т.е. выражается через другие переменные и равен 0.

1. Найдем значения базисных переменных оптимального плана Х* и Z(X*) для обоих случаев (max, min).

• Для максимизации целевой функции:

2х₂ + 6x₃ = 1991

4х₂ + 2x₃ = 1292

Решив эту систему, получим, что X* (188,5; 269), следовательно, z(X*) = 457,5.

• Для минимизации целевой функции:

4х₁ + 6x₄ = 1991

6х₁ + 3x₄ = 1292

Решив эту систему, получим, что X* (74,12; 282,42), следовательно, z(X*) = 356,54.

3. Решим задачу (max, min) для задачи, когда ограничения записаны в форме неравенства ():

U₁ =­­ 4x₁ + 2х₂ + 6x₃ + 6х₄ + 3x₅ ≤ 1991

U₂ = 6x₁ + 4х₂ + 2x₃ + 3х₄ + 6x₅ ≤ 1292

U₃ = x₁ + х₂ + x₃ + х₄ + x₅ => min (max)

Таким образом, получим, что при минимизации целевой функции все х_j = 0 при . Так как минимум будет в нулевой точке пересечения координат, а при максимизации целевой функции –, , причем х₁, х₄, х₅ = 0, а целевая функция .

4. Рассмотрим возможные варианты:

   1. Вариант А₁ – единственное решение задачи ЛП – был представлен выше в аналитической форме и отображен в пространстве условий геометрически.

   2. Вариант А₂ – бесконечное множество решений – в данном случае коэффициенты всех уравнений должны совпадать, т.е. быть линейно зависимыми, тогда при построении в пространстве условий конус будет представлять прямую, полностью совпадающую с целевой функцией.

3. Вариант В₁ – нет решения, целевая функция не ограничена сверху, если находится z(x)_max, либо снизу, если z(x)_min. В этом случае, при построении сечения на одну из плоскостей получаем выпуклую область, в которой целевая функция достигает только минимальное значение.

4. Вариант В₂ – система условий не совместима. На проекции вектор ограничений не пересекается с областью D.

6