1. Задачи / Образцы выполненных СРС 1-12 МАТЕСО / 11 / Солнцева Светлана_СРС 11

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра ОСУ

Самостоятельная работа студента №11

Задача о назначениях (выборах)

Выполнила: студентка группы 8512

Солнцева Светлана Сергеевна

Проверил: Ротарь В.Г.

ТОМСК

2004

ЗАДАНИЕ

1. Решить задачу о назначениях (выборах), используя венгерский метод и алгоритм Флада. Необходимо найти распределение (назначение) работ исполнителям, которое бы обеспечило максимальную суммарную эффективность выбора при условии, что каждая работа будет выполнена и каждый исполнитель получит работу.

   1. Решить задачу, минимизируя целевую функцию.

   2. Решить задачу, максимизируя целевую функцию.

ХОД РАБОТЫ

1. Задача в формальном виде выглядит следующим образом:

при условиях

Запишем матрицу эффективности использования каждого исполнителя на соответствующей работе Сij, используя код ФИО:

Работы	Исполнители
	Мать	Отец	Сын	Дочь
Магазин	19 (С)	16 (О)	13 (Л)	15 (Н)
Обед	24 (Ц)	6 (Е)	3 (В)	1 (А)
Посуда	19 (С)	3 (В)	6 (Е)	20 (Т)
Уборка	13 (Л)	1 (А)	15 (Н)	1 (А)

1. Решим задачу, минимизируя целевую функцию:

Этап 1: подготовительный этап, использующий венгерский метод (алгоритм Флада):

1. Переход Сij => C´ij (ищем в каждой строке матрицы Сij минимальный элемент). Тогда коэффициент приведения матрицы , следовательно, .

2. Переход С´ij => C´´ij (ищем в каждом столбце матрицы С´ij минимальный элемент). Тогда коэффициент приведения матрицы , следовательно, .

3. Операции (1) и (2) этапа 1 обеспечили в каждой строке и в каждом столбце появление хотя бы одного ноля.

4. Найдем минимальное количество линий, вычеркивающих все ноли в матрице, оно равно 3 (количество независимых нолей также равно 3), а ранг матрицы равен 4, следовательно, не соблюдается условие оптимальности:

r_Сij = число независимых нолей

Так как не было соблюдено условие оптимальности, переходим к этапу 2.

	Сij					Cij => C'ij					C'ij => C''ij					Ноли
	19	16	13	15		6	3	0	2		0	3	0	2		0		0
	24	6	3	1		23	5	2	0		17	5	2	0					0
	19	3	6	20		16	0	3	17		10	0	3	17			0
	13	1	15	1		12	0	14	0		6	0	14	0			0		0
						(по строкам min)					(по столбцам min)

Этап 2: итерация венгерского метода (алгоритма Флада).

1. Среди невыделенных элементов (невыделенный элемент – не вычеркнутый линией элемент) выбираем минимальный:

Θ = 2

2. Проведем переход С’’ij ⁽⁰⁾ => С’’ij⁽¹⁾ :

Итерация (1)						Ноли					Сij
	0	5	0	4		0		0			19	16	13	15
	15	5	0	0				0	0		24	6	3	1
	8	0	1	17			0				19	3	6	20
	4	0	12	0			0		0		13	1	15	1

Таким образом, мы видим, что условие оптимальности выполнилось, следовательно, целевая функция при ее минимизации будет равна:

z(x) = 19 + 3 + 3 + 1 = 26 минут – минимальное время, затраченное всеми исполнителями на исполнение всех работ.

2. Решим задачу, максимизируя целевую функцию.

Этап 1: подготовительный этап, использующий венгерский метод (алгоритм Флада):

1. Переход Сij => C´ij (ищем в каждой строке матрицы Сij максимальный элемент). Тогда коэффициент приведения матрицы , следовательно, .

2. Переход С´ij => C´´ij (ищем в каждом столбце матрицы С´ij минимальный элемент). Тогда коэффициент приведения матрицы , следовательно, .

3. Операции (1) и (2) этапа 1 обеспечили в каждой строке и в каждом столбце появление хотя бы одного ноля.

4. Найдем минимальное количество линий, вычеркивающих все ноли в матрице, оно равно 4 (количество независимых нолей также равно 4), и ранг матрицы равен 4, следовательно, условие оптимальности соблюдается:

r_Сij = число независимых нолей

Т.к. условие оптимальности соблюдено, следовательно, итерации не нужны.

Сij					Cij => C'ij					C'ij => C''ij					Ноли					Сij
19	16	13	15		0	3	6	4		0	0	6	4		0	0				19	16	13	15
24	6	3	1		0	18	21	23		0	15	21	23		0					24	6	3	1
19	3	6	20		1	17	14	0		1	14	14	0					0		19	3	6	20
13	1	15	1		2	14	0	14		2	11	0	14				0			13	1	15	1
					(по строкам max)					(по столбцам min)

Следовательно, целевая функция при ее максимизации будет равна:

z(x) = 16 + 24 + 20 + 15 = 75 минут – максимальное время, затраченное всеми исполнителями на исполнение всех работ.