2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра прикладной физики На правах рукописи

А.М. Чмутин

ЛЕКЦИИ ПО МЕТРОЛОГИИ

Волгоград

2005

Содержание

Приложение E Приложение F Список литературы

77 87

Приложение E

Обработка результатов измерений методом наименьших квадратов.

При проведении математической обработки результатов измере­ний задача формулируется, как нахождение некоторой функции у=f(x), значения которой при х=x₁, x₂, ... x_n возможно меньше отличались бы от опытных значений у₁, у₂, .... у_n.

Стоит сразу же предупредить, что метод наименьших квадратов отнюдь не позволяет выявить из результатов измерений вид f законо­мерности изменения измеряемой величины. Применение метода наи­меньших квадратов дает возможность лишь подтвердить или опро­верг­нуть догадку о виде этой функции. Геометрический же смысл за­дачи заключается в проведении плавной кривой y=f(x), проходящей наибо­лее близко к опытным точкам.

Линейная задача наименьших квадратов предполагает допу­сти­мость аппроксимации опытных точек линейной зависимостью f(x, а, b, с, ... m) от параметров а, b, с, ... m.

Если, например, в качестве функции f(x) взят полином порядка m

f(x)=a+bx+cx²+…+mx^m, (E1)

то метод наименьших квадратов позволяет найти такие значения пара­метров а, b, с, ... m, при которых сумма квадратов отклонений расчет­ных значений f(x1), f(x₂), … f(x_n) от опытных у₁, y₂, … f(x_n) была бы наименьшей, т.е. чтобы выбранные значения параметров полинома да­вали наименьшую величину

S= [y₁-f(x_i)]²

где [у_i-f(x_i)] - отклонение по ординате опытной точки от соответст­вующей точки искомой кривой.

С учетом выражения (EI) формулу для S можно записать так:

S= [(a+bx_i+cx_i²+…+mx_i^m)-f(x_i)]² (E2)

Для выполнения этого условия (минимизации S) достаточно при­равнять нулю все частные производные (Е2) по параметрам a, b, c, … m:

(E3)

Полученная система (Е3) из (m+1) уравнений позволяет найти значения всех неизвестных параметров, которые вычисляют следующим образом.

1. По опытным данным составляют условные уравнения:

где значения x и у берут из опытных данных, причем число n уравне­ний больше числа m неизвестных.

2. Составляют нормальные уравнения, для чего:

а) умножают каждое условное уравнение на коэффициент при а (он равен х°=1), складывают их и находят первое нормальное уравнение

a+bx₁+cx₁²+…+mx₁^m=y₁

a+bx₂+cx₂²+…+mx₂^m=y₂

…………………………..

a+bx_n+cx_n²+…+mx_n^m=y_n

--------------------------------

б) умножают каждое условное уравнение на коэффициент при b и находят второе нормальное уравнение

ax₁+bx₁²+cx₁³+…+mx₁^m+1=y₁x₁

ax₂+bx₂²+cx₂³+…+mx₂^m+1=y₂x₂

…………………………… ….

ax_n+bx_n²+cx_n³+…+mx_n^m+1=y_nx_n

в) умножают каждое условное уравнение на коэффициент при с и находят третье нормальное уравнение

Затем умножают каждое условное уравнение на коэффициенты при прочих искомых параметрах и находят оставшиеся нормальные урав­нения. Всего будет m нормальных уравнений, т.е. столько, сколько имеется неизвестных параметров.

3. Решая полученную систему нормальных уравнений

находят искомые параметры а, b, с, ... m и получают эмпирическую формулу

f^э(x_i)=a+bx_i+cx_i²+…+mx_i^m. (E4)

4. По формуле (Е4) определяют значения у₁^э=f^э(x₁).

5. Находят невязку ε_i как разность между значениями у_i полу­ченными из опыта, и у_i^э, найденными по формуле (Е4):

ε_i=y_i-y_i^э

6. Зная невязку, уточняют значения искомых параметров, ко­торые принимают равными А=а+α; В=b+β; С=с+; ... М=m+μ, где поправки α; β;  ; … μ находят следующим путем.

7. Составляют новые условные уравнения того же вида, что и ранее

8. Как и прежде составляют нормальные уравнения умноже­нием каждого условного уравнения на множитель при , затем при β и т.д., после чего полученные выражения складывают и получают систему новых нормальных уравнений.

9. Решают полученную систему нормальных уравнений отно­сительно поправок α; β; ; … μ.

10. По найденным поправкам и вычисленным в п. 3 параме­т­рам а, b, с, ... m находят исправленные искомые параметры А; В; С; ... М, после чего исправляют эмпирическую формулу, которая теперь принимает вид

F^э(x_i)=A+Bx_i+Cx_i²+…+Mx_i^m. (E5)

Удовлетворительность проведенной аппроксимации проверя­ют путем вычисления среднего квадратического отклонения опыт­ных значений у₁, y₂, ... y_n величины у_i от результатов F(x₁), F(x₂), ...F(x_n), полученных по эмпирической формуле (Е5). При этом должно соблюдаться неравенство

(E6)

где n - число условных уравнений, равное числу значений х и у по результатам опыта; m - число определяемых параметров; _y - допус­тимая погрешность измерений величины у при проведении опыта в долях _y [71; 72; 73].

Итак мы показали, как метод наименьших квадратов позво­ляет найти эмпирическую формулу, обеспечивающую минималь­ную дисперсию отклонений точек (вычисленных по этой формуле) от экспериментальных. Как следствие, метод наименьших квадра­тов может быть эффективен для выявления закономерности изме­нения измеряемой величины при вариации условий проведения из­мерений; анализа трендов систематической погрешности измере­ний и т.д. [71].

Представляет интерес рассмотреть частный случай примене­ния метода наименьших квадратов. Произведем статистическое оценивание результатов измерения постоянной величины – соответ­ствующие выкладки студентам предлагается сделать самостоя­тельно, итоговая оценка есть среднее арифметическое результатов измерения этой величины [74].

ПРИМЕР I. при исследовании геометрической формы склейки из нескольких линз длиной 40 мм в пяти ее сечениях были по­лучены следующие отклонения от номинального значения диамет­ра d=20 мм:

Расстояние х от торца до сечения, в котором измеряется диаметр склейки, мм	Отклонение от номинального диаметра δd, мкм
40	3
30	5
20	8
10	15
0	18

По этим данным построен график, представленный на рис. Е1.