Затрудина / 17-19

Эллиптически поляризованные волны. Параметры Стокса.

Поляризация оптического излучения характеризует поведение во вре-

мени электрического вектора E. Декартовы компоненты монохроматической электромагнитной волны, распространяющейся в изотропной среде в поло-

жительном направлении оси z в общем случае имеют вид:

туды x- и y-компонент электрического поля. Известные преобразования (1)

приводят к уравнению вида

где δ = δ2 - δ1 – разность фаз. Уравнение (2) представляет собой уравнение эллипса (см. рис.), т.е. конец вектора электрического поля Е=Еx x+Eyy опи-

сывает эллипс. Такая волна называется эллиптически поляризованной. При sinδ > 0 имеет место правая поляризация, а при sinδ < 0 – левая.

Рис. 1 Эллипс поляризации

1

Для описания эллиптически поляризованной волны необходимы три параметра. Ими могут быть а1, а2, δ. В общем случае эллипс поляризации в его собственной плоскости описывается следующими параметрами (рис.1):

1. Азимутом ψ (азимут - угол между произвольно выбранным направлением,

перпендикулярным направлению распространения излучения (например,

осью x) и большой полуосью эллипса). Положительным направлением отсче-

та азимута ψ считается направление против часовой стрелки при наблюдении навстречу направлению распространения излучения.

2. Эллиптичностью ε =b/a (эллиптичность - отношение длин малой полуоси b

и большой полуоси a эллипса).

3. Направлением обхода эллипса поляризации, т.е. направлением вращения вектора E.

Для описания эллипса поляризации используется также величина, на-

зываемая углом эллиптичности χ:

причем знак плюс соответствует правой поляризации, а знак минус – левой.

Многие оптические системы, особенно различные биоткани (например,

кожа, хрящевая ткань, склера), способны уменьшать степень поляризации падающего излучения. Такие оптические системы называются деполяризую-

щими. Для описания распространения света через деполяризующие системы используют формализм векторов Стокса. В этом формализме состояние све-

товой волны, то есть ее поляризация и интенсивность, описываются векто-

ром Стокса, компонентами которого являются параметры Стокса:

U= 2a1 a2 cos δ = 2 Re( E1 E *2 ) ,

V= 2a1 a 2 sin δ = 2 Im( E1 E 2* ) ,

2

В представлении (1) амплитуды и фазы компонент поля полагались по-

стоянными. Но даже в простейшем случае монохроматического света ампли-

туды и фазы испытывают непрерывные колебания. Поскольку наблюдаемой величиной является средняя по времени интенсивность, т.е. видимые интен-

сивности Ix,y в направлениях x и y будут определяться средними величинами

I x,y = a1,2 2 ,

то и параметры Стокса должны выражаться через средние величины:

U = 2a1a2 cos δ = 2 Re E1E*2 ,

V = 2a1a2 sin δ = 2 Im E1E*2 .

Параметры Стокса полностью поляризованной волны связаны между собой очевидным соотношением

I 2 = Q 2 + U 2 + V 2 , (6)

которое следует из (5). Уравнения (5,6) определяют три величины, однознач-

но описывающие любую поляризованную волну.

В случае частично поляризованной волны равенство (6) должно быть

Параметры Стокса имеют простой физический смысл, который легко увидеть, рассмотрев параметры Стокса для некоторых частных случаев поля-

ризации. Так, например, для линейно поляризованной волны, плоскость по-

ляризации которой составляет угол ψ0 с осью x a1 = E 0 cos ψ 0 , a 2 = E0 sin ψ 0 ,

3

δ = 0 ,

U= E02 sin 2ψ0

V= 0

Тогда из (8) следует, что в случае волны с азимутом ψ = 0º вектор Стокса S

V = M2E02 .

4

Из (5), (9)-(12) видно, что параметр I равен полной интенсивности из-

лучения и всегда положителен. Параметр Q равен разности интенсивностей

х- и у- компонент и имеет максимальное значение для линейно поляризован-

ного излучения с азимутом ψ = 0, и наибольшее по модулю отрицательное значение при азимуте α = 90°. Параметр U отражает соотношение компонент линейно поляризованных с азимутами ψ = 45° и ψ = -45°. Если параметр U

положителен, то волна поляризована преимущественно с азимутом ψ = 45°, а

если параметр U отрицателен, то волна поляризована преимущественно с азимутом ψ = -45°. Если U = 0, то в волне не преобладает ни одна из этих двух поляризаций. Параметр V характеризует преобладание в волне либо право-, либо левоциркулярной компоненты, на которые может быть разложе-

на волна. Параметр V положителен при преобладании правой циркулярной компоненты, отрицателен при преобладании левой циркулярной компоненты

и равен нулю при их равенстве.

Параметры Стокса могут быть выражены через интенсивности компо-

5

Из (14) видно, что параметры I и V зависят только от полной интенсивности и от отношения полуосей и не зависят от ориентации эллипса. Напротив, пара-

метры Q и U зависят от выбора системы координат.

Из (14) найдем обратное преобразование (азимут ψ и угол эллиптично-

Выражениям (14) можно поставить в соответствие декартовы коорди-

наты (X,Y,Z) точки (r,θ,ϕ) на сфере радиуса r = I с угловыми координатами θ

= π/2 - 2χ и ϕ=2ψ:

X= r sin θ cosϕ,

Y= r sinθ sinϕ,

Z = r cos θ .

Такая сфера называется сферой Пуанкаре. Ее полюсы соответствуют круго-

вым поляризациям: северный полюс соответствует левой круговой поляриза-

ции, а южный – правой. Северная и южная полусферы отвечают левой и пра-

вой эллиптической поляризации, а экватор – линейной поляризации.

В общем случае вектор Стокса S частично поляризованного излучения можно разложить на две компоненты: полностью поляризованную компо-

Тогда степень поляризации излучения, т.е. отношение интенсивности поля-

ризованной составляющей оптического излучения к его полной интенсивно-

сти, определяется соотношения

6

из одной системы координат в другую осуществляется с помощью матриц поворота R(α) с помощью следующих соотношений:

где d – степень деполяризации (очевидно, что 0 ≤ d ≤ 1, при этом d = 1 соот-

ветствует полностью деполяризующей среде, d = 0 описывает идеальную пластину с единичным пропусканием, которая не изменяет состояние поля-

Пропускание по интенсивности оптической системы по методу Мюл-

лера находится как отношение параметров Стокса I’ и I (которые представ-

ляют собой полную интенсивность) в векторах Стокса прошедшего и па-

дающего излучения. Подставляя (21) в (22), найдем

X = HII + P(HI-@AB2'@AB2 + HIJ@AB2'BCD2 + HI BCD2' (29)

Формализм матрицы Мюллера специально предназначен для изучения распространения частично поляризованного света через деполяризующие оп-

тические системы, хотя диапазон его применимости охватывает, очевидно, и

8

частные случаи, когда оптическая система является не деполяризующей, а

падающий свет либо частично, либо полностью поляризован. В этих частных случаях формализм матрицы Мюллера является более мощным, чем это нужно.

Измерение матрицы Мюллера.

Для определения элементов матрицы Мюллера необходимо знать, ка-

кой эффект оказывает данная оптическая система на излучение с четырьмя различными состояниями поляризации, например на естественный свет, на линейно поляризованный с азимутами ψ = 0 и ψ = 45º и на свет с круговой поляризацией. Если в каждом случае известен результат действия, то можно записать 4 матричных, т.е. 16 линейных уравнений для нахождения 16 неиз-

вестных элементов матрицы Мюллера.

Например, определим матрицу Мюллера неидеальной фазовой пла-

стинки, оси которой совпадают с осями x и y. Фазовая задержка δс, вносимая

Падающее линейно-поляризованное с азимутом ψ = 0 излучение опи-

сывается вектором Стокса S вида (9). Прошедшее излучение будет иметь то же состояние поляризации, т.е. его вектор Стокса S’ также имеет вид (9). В

матричном виде

9