4.2.Средняя сложность

1. Треугольник и круги. Лежит ли заданный на плос­кости треугольник ABC в области пересечения заданных кругов: {x-a1)²+{y-b1)²<r1²; (x-a2)² + (y-b2⁾² <r2²?

Точность – до 5 значащих цифр. Т.е. если координаты различаются в 6 знаке, то точки – совпадают.

2.. Кирпич. Пройдет ли кирпич со сторонами а,Ьис сквозь прямоугольное отверстие со сторонами г и 5? Стороны отверстия должны быть параллельны граням кирпича.

см. зам. К задаче 1

3.Шар и ромб. Может ли шар радиуса г пройти че­рез ромбообразное отверстие с диагоналями рм q?

см. зам. К задаче 1

4. Посылка. Можно ли коробку размером axbxc упаковать в посылку размером rxsxt? «Углом» укла­дывать нельзя.

см. зам. К задаче 1

5. Задача жестянщика. Можно ли из круглой заго­товки радиуса г вырезать две прямоугольные пластин­ки с размерами axb и cxd?

см. зам. К задаче 1.

6. Планировка. Можно ли на прямоугольном участ­ке застройки размером а на b метров разместить два дома размером в планер на q и г Has метров? Дома мож­но располагать только параллельно сторонам участка.

см. зам. К задаче 12.

7. Две окружности. Проверить, лежит ли окруж­ность (x1-a1)^2+(y1-b1)^2 == R1^2 Целиком внутри окружно­сти (x2-a2)^2+(y2-b2)^2 == R2^2 или наоборот.

Замечание. Рассмотреть вариант, когда окружности только касаются друг друга .

см. зам. К задаче 12.

8. Треугольник и точка. Лежит ли точка М(х_т,у_т) внутри треугольника, заданного координатами своих вершин А{х_А,у_А), В(х_в,у_в), С(х_с,у_с) на плоскости?

см. зам. К задаче 12.

9 Общая точка. Два отрезка на плоскости заданы координатами своих концов. Определить, имеют ли эти отрезки общие точки.

Замечание. Необходимо рассмотреть различные слу­чаи взаимной ориентации отрезков: на одной прямой, на параллельных или пересекающихся прямых.

Тестирование должно предусмотреть все такие ситуации. см. зам. К задаче 12.

10. Деление на 3. Как известно, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. НАПИСАТЬ ПРОГРАММУ, КОТОРАЯ БУДЕТ ПРОВЕРЯТЬ этот признак для всех НАТУРАЛЬНЫХ чисел <= 1*10^6 , или <= MAX LONG

Замечание. Теоретическое утверждение о признаке делимости предлагается проверить ВРУЧНУЮ - на примере заданного трехзнач­ного числа. И ДЛЯ 1-ГО ВАРИАНТА ПРОГРАММЫ - на примере любого вводимого числа. Признак считается доказанным, но не будет лишним поиск для него контрпримеров.

11 Ориентация. Заданы координаты вершин тре­угольника ABC на плоскости. Вывести их в порядке об­хода по часовой стрелке (для проверки достаточно рас­смотреть знаки внутренних углов).

12(7 6.) Привал. Путник двигался.?, часов со скоростью v_v затем t₂ часов — со скоростью v₂ и t₃ часов .— со скоростью v₃. За какое время он одолел первую полови­ну пути, после чего запланировал привал?

13.(7 б.) Как успеть подешевле? Можно ехать на такси со скоростью v_{ км/ч и оплатой р_х р./км либо идти пешком со скоростью v₂ км/ч бесплатно. Как с наименьшими затратами преодолеть путь S за время t, если это возмож­но? Каковы эти затраты?

Тестирование. Рекомендуется рассмотреть «запредель­ные» случаи: когда времени слишком мало, чтобы успеть даже на такси, либо слишком много, так что и пешком можно с запасом успеть до отхода поезда.

14 (Ю б.) Задача о смесях. Имеются три раствора полез­ного вещества с концентрациями р,,р₂ ир₃ каждый и сто­имостью s,, 5₂ и 5₃ соответственно. Можно ли смешать их так, чтобы получить раствор с заданной концентрацией р наименьшей стоимости?

Указание. Пусть а,,а₂,а₃ — долевые содержания ра­створов в смеси. Тогда для получения заданной концен­трации р необходимо: /?,ос, + р₂а₂ + р_га_г = р.

Кроме того, нужно учесть условие «комплектности» смеси:

15. ВНУТРИ ,НА ГРАНИЦЕ, «НА УГЛУ» ИЛИ СНАРУЖИ ? Задана точка (xT,yT) на плоскости и треугольник, заданный координатами своих вершин ( x1,y1), (x2,y2) (x3,y3). Где расположена точка относительно треугольника (ВНУТРИ ,НА ГРАНИЦЕ , «НА УГЛУ» ИЛИ СНАРУЖИ)?

Замечание. РАССМОТРЕТЬ случай угловых точек треугольника..

см. зам. К задаче 1.

16. ВНУТРИ ,НА ГРАНИЦЕ, «НА УГЛУ»ИЛИ СНАРУЖИ ? Задана точка (x1,y1,z1)в пространстве R^3 и треугольная Пирамида ( ОСНОВАНИЕ- треугольник), заданный координатами своих Вершин ( x1,y1),…, (x4,y4). Где расположена точка относительно Пирамиды (ВНУТРИ ,НА ГРАНИЦЕ , «НА УГЛУ»ИЛИ СНАРУЖИ)?

см. зам. К задаче 1.

Литература.

1. Сборник задач по программированию.

2. Бондарев, Рублинецкий, Качко. Основы программирования.