Практикум по электричеству / LAB15
.pdf
Б.Н. Сипливый, В.К. Михайлов,
В.В. Подгорный, П.И. Поленичкин.
Практикум по электричеству
Лабораторная работа №15
Определение удельного заряда электрона
Целью работы является определение удельного заряда электрона, т.е. отношения заряда электрона к его массе — е/m, методом магнетрона.
8.1.1. Идея метода
Существует много методов для определения удельного заряда электрона с различной точностью. В отличии от определения элементарного заряда е, определить отношение е/m технически гораздо проще, так как эта комбинация входит в уравнения динамики движения электрона в магнитном и электрическом полях и явно выражается через легко измеряемые величины: геометрию электродов, величины полей В и Е, напряжение U между электродами. Простейшим методом определения удельного заряда электрона е/m является метод магнетрона. Термин “метод магнетрона”
связан с тем, что здесь используется такая же конфигурация скрещен- Рис.8.1.1. Скрещен- ных полей В и Е, как и в магнетроне — генераторе мощных сверхвысо-
ные поля в цилин- кочастотных (СВЧ) электромагнитных колебаний. Идея этого метода
дрическом диоде
состоит в следующем.
Пусть цилиндрический диод, в котором нагретым катодом является внутренний цилиндр, а анодом — коаксиальный ему наружный, помещен в соленоид, который может создавать магнитное поле, направленное вдоль оси диода (см. рис.8.1.1). В отсутствии магнитного поля электроны летят от катода к аноду по радиусам, образуя в цепи анода ток Iа. При не слишком большом осевом магнитном поле В траектории электронов искривляются этим полем, как показано на рис.8.1.2, но все электроны всё равно достигают анода, создавая тот же ток Ia. При увеличении магнитного поля до некоторого критического значения Вкр электроны искривляют свои траектории настолько, что перестают достигать анода и возвращаются на катод (см.
рис.8.1.2). Ток анода при этом падает до нуля. При дальнейшем увеличении магнитного поля все электроны, эмитированные катодом, описывают в пространстве всё более короткие петли и возвращаются на катод, не достиг-
нув анода. Анодный ток отсутствует. Таким образом, зависимость тока анода от величины осевого магнитного поля в диоде имеет вид, показанный на рис.8.1.3. Как будет установлено ниже, поле Вкр и удельный заряд электрона е/m связаны несложным соотношением. Следовательно, удельный заряд электрона можно определить, измеряя зависимость Ia(В) и регистрируя поле В=Вкр, соответствующее спаду анодного тока.
8.1.2. Движение электрона в скрещенных полях
Рассмотрим характер движения электрона в постоянных, однородных и взаимно перпендикулярных полях В и Е, и определим значение критического магнитного поля Bкр сначала для плоского диода, а затем и для цилиндрического.
2
8.1.2.1. Плоский диод
Пусть между плоскопараллельными анодом и катодом приложено постоянное напряжение U, т.е. создано однородное электрическое поле E=U/d, а однородное магнитное поле В направлено параллельно их плоскостям, как показано на рис.8.1.4. И пусть катод испускает (эмитирует) электроны с нулевой начальной скоростью. Общее векторное уравнение
движения электрона в полях В и Е
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
m |
r |
e E [v |
B] |
||||
dt2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Рис.8.1.4. Траектории электрона в плоском диоде
эквивалентно трем скалярным:
m d2x/dt2= e(Ex+vyBz vzBy), m d2y/dt2= e(Ey+vzBx vxBz), m d2z/dt2= e(Ez+vxBy vyBx).
Так как в данном случае (см. рис.8.1.4) ненулевыми являются только у-компонента электрического поля (Еy = Е) и z-компонента магнитного поля (Вz= В), то из трех уравнений остаются два:
|
d2x / dt2 evyB / m, |
(1) |
d2 y / dt2 e(E v B)/ m. |
|
|
|
x |
|
Это означает, что в диоде электрон движется только в плоскости (х, у). Уравнения (1) удобно представить в виде:
|
d2x / dt2 |
0 dy / dt, |
(2) |
||||
d2 y / dt |
2 |
0 |
E / B |
0 |
dx / dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где: 0 (e/m)B — циклотронная частота.
Легко показать, что при нулевых начальных условиях: x(0)=y(0)=0; dx/dt(0)=dy/dt(0)=0,
решение системы (2) имеет вид:
x(t) R( 0t sin 0t); |
(3) |
|
|
y(t) R(1 cos 0t), |
|
|
|
|
где R E/( 0B). Кривая, параметрически определяемая уравнениями (3), называется циклоидой. (см. рис.8.1.4). Эту траекторию описывает в пространстве фиксированная точка на ободе колеса радиусом R, катящегося по плоскому катоду.
Если поле В мало, то испущенный катодом электрон долетает по искривленной траектории до анода. При увеличении магнитного поля траектории электронов все более искривляются. При достижении магнитным полем некоторого критического значения В=Вкр электроны перестают долетать до анода. Вычислим это поле.
В высшей точке критической циклоиды: y=ymax=d. Но из второго уравнения (3) видно, что уmax=2R (при cos 0t= 1), следовательно:
d=2R=2E/( 0B).
Но, так как
E=U/d; |
|
|
0=(e/m)B, |
|
||||
то для критического поля получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
1 |
|
|
2m |
U . |
(4) |
|
кр |
|
d |
|
|
e |
|
||
При В>Вкр электроны не достигают анода, а вновь возвращаются на катод.
8.1.2.2. Цилиндрический диод.
Качественный вид траектории движения электрона в скрещенных полях В и Е в цилиндрическом диоде был описан в разделе 8.1.1 и показан на рис.8.1.2. Для количественного описания движения электрона в цилиндрическом диоде уравнения (2) целесообразно записать в полярной системе координат с помощью замен:
x=r cos , y= r sin .
3
Однако дальнейшие преобразования, приводящие к уравнениям движения в полярных координатах, достаточно громоздки. Конечной же цели — получения формулы для Вкр в цилиндрическом диоде — можно достичь более простым путем. Запишем основное уравнение вращательного движения для электрона в цилиндрическом диоде:
d |
d |
rF , |
(5) |
||
|
J |
|
|
||
|
|
||||
dt |
dt |
|
|
||
где J=mr2 — момент инерции электрона, летящего по дуге радиусом r(t), d /dt — его угловая скорость,
rF — момент сил, действующих на электрон,
F — азимутальная (угловая) компонента силы, действующей на электрон.
Электрическое поле Е имеет радиальную структуру и не может дать азимутальную компоненту силы. Эта сила порождается только магнитным полем В={0, 0, В} и пропорциональна радиальной скорости электрона:
|
|
|
|
F =evrB=eB dr/dt. |
|
|
|||||||
Рис.8.1.5. |
Разло- |
Тогда уравнение (5) можно записать в виде: |
|
|
|||||||||
|
d |
d |
dr eB d(r2) |
|
|||||||||
жение скорости в |
|
. |
|||||||||||
|
|
mr2 |
|
eBr |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
dt |
|||||||
полярных |
коор- |
|
dt |
dt |
dt |
|
|
|
|||||
динатах |
Интегрируя его, получаем: |
|
|
|
mr2d /dt=Ber2/2+C. |
(6) |
|
|
|
||
Константу С определяем из начальных условий: при t=0 |
|
||
|
r=rk; |
d /dt(0)=0, |
|
где rк — радиус катода. Следовательно, уравнение (6) принимает вид: |
|
||
|
mr2d /dt=eB(r2-rk2)/2. |
|
|
А так как величина rd /dt — это угловая компонента скорости v (см. рис.8.1.5), то из последнего уравнения получаем:
v |
|
e |
B |
r2 rk2 |
. |
(7) |
m |
2r |
|
||||
В наивысшей точке критической траектории электрон имеет только угловую компоненту скорости v (см. рис.8.1.5), так как в этой точке он движется перпендикулярно радиусу. Тогда по закону сохранения энергии:
mv2 |
|
|
eU , |
(8) |
|
||||
2 |
|
|||
|
r ra |
|
||
где U — напряжение между анодом и катодом, eU — потенциальная энергия электрона у поверхности анода относительно катода. Из (7) и (8) получаем выражение для критического поля:
|
|
2ra |
|
2m |
|
|
Bкр |
|
|
|
|
U . |
(9) |
ra2 rk2 |
|
|||||
|
|
|
e |
|
||
Заметим, что при узком зазоре между анодом и катодом, т.е. при ra rk=d rk, формула (9) переходит в (4). Обычно в реальных диодах: ra rk, что мы и будем принимать в дальнейшем. Тогда формула (9) вырождается в такую:
B |
кр |
|
1 |
|
|
|
8m |
U . |
(10) |
||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получаем для искомого удельного заряда электрона: |
|
||||||||||||
|
e |
|
|
8U |
. |
|
(11) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
m |
B2 |
|
r2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
к |
р |
a |
|
||||
8.1.3. Причины уменьшения точности метода
При выводе формулы (11) предполагалось следующее:
1)начальные скорости вылетающих из катода электронов — нулевые;
2)анод и катод являются точно цилиндрическими и коаксиальными;
4
3)катод является эквипотенциальной поверхностью, т.е. разности потенциалов между любой точкой катода и анодом одинаковы;
4)поле В однородно и направлено точно вдоль оси диода.
Реально же ни одно из этих условий не выполнено. Причины этого следующие.
1. Электроны вылетают из катода с различными начальными скоростями, подчиняющимися распределению Максвелла. Средняя кинетическая энергия электронов, эмитированных катодом:
mv2/2~kT,
где к=1.38 10-23 Дж/К — константа Больцмана, a Т — температура катода.
Такую же энергию электроны приобретают, разгоняясь разностью потенциалов , удовлетворяющей условию:
e =mv2/2.
Сравнивая последние два соотношения, получаем для “неопределенности” напряжения U между анодом и катодом:
~ |
k |
T |
|
T 3000K |
03,B . |
|
|||||
|
|
||||
|
e |
|
|
||
|
|
|
|||
Хотя эта величина и не слишком велика по сравнению с рабочими напряжениями в диоде (порядка десятков вольт), но, в соответствии с распределением Максвелла, много электронов имеют и гораздо более высокие выходные скорости. В связи с этим, накал катода в настоящей работе задается по возможности более слабым.
2. Анод и катод в промышленных диодах не являются точно ни цилиндрическими, ни коаксиальными, так как эти лампы не предназначены специально для данного опыта. Это приводит к тому, что электроны достигают разных участков анода при разных полях В, т.е. величина Bкр оказывается размытой, а значит спад анодного тока на рис.8.1.3 будет не рез-
|
ким, а пологим. |
|
|
3. В вакуумном диоде ЗЦ18П, используемом в настоящей работе (или |
|
|
возможен вариант 1Ц11П), катодом является вольфрамовая нить, которая не- |
|
|
посредственно нагревается пропускаемым через нее током (катод прямого |
|
|
накала). А поскольку нить непосредственно присоединена к источнику на- |
|
Рис.8.1.6. |
кального напряжения Uнак~2 В (см. рис.8.1.6), то потенциалы разных ее точек |
|
относительно анода различны, и максимальное отличие между началом и |
||
Напря-жения |
концом спирали как раз и равно напряжению накала в 2 В. Это также приво- |
|
в диоде пря- |
||
дит к размыванию спада графика Ia(В), показанного на рис.8.1.3, и, следова- |
||
мого накала |
||
|
тельно, к понижению точности определения величин Вкр и е/m. |
4. Диод в эксперименте можно достаточно точно ориентировать вдоль оси соленои-
|
|
|
да, но это еще не значит, что магнитное поле внутри диода будет осевым. |
|
|
|
Дело здесь в том, что у промышленных вакуумных диодов анод и выводы |
|
|
|
лампы сделаны из железа, которое, являясь ферромагнетиком, сильно ис- |
|
|
|
кажает магнитное поле вблизи себя. У поля В появляется радиальная ком- |
|
|
|
понента (см. рис.8.1.7), да и сама величина его изменяется, причем в раз- |
Рис.8.1.7. |
Ис- |
ных местах диода по разному. В результате этого, процессы в диоде уже не |
|
кажение |
|
маг- |
описываются формулой (11). |
нитного |
|
поля |
|
ферромагнит- |
Все эти причины и ухудшают точность определения е/m методом |
||
ным |
цилин- |
магнетрона, причем последняя оказывается особенно удручающей. Однако, |
|
дром |
|
|
|
по крайней мере порядок величины е/m этим методом на промышленном диоде ЗЦ18П или 1Ц11П оценить все-таки можно.
8.1.4. Схема установки
Схема экспериментальной установки для определения удельного заряда электрона е/m показана на рис.8.1.8. Диод с цилиндрическим анодом и вольфрамовой нитью накала, протянутой по его оси, смонтирован на специальном держателе с четырьмя выходными проводами: анод-катод (а-к) и парой накальных (н-н). Держатель позволяет вводить диод в
5
середину катушки K (соленоида), создающей осевое магнитное поле В, и фиксировать его там. Напряжение накала (около 2 В) вырабатывается источником Uн и регулировке не подлежит. Источник анодного напряжения Uа — регулируемый от 0 до 50 В. Вольтметр и миллиамперметр могут быть встроенными в источник Uа, либо отдельными. Регулируемый источник Uк питает катушку, ток через которую измеряется амперметром, например, тестером. Магнитное поле в центре катушки, там где устанавливается диод, вычисляется по формуле соленоида, к которому пересчитаны витки катушки по специальным измерениям магнитного поля в ней.
|
8.1.5. Программа работы |
Рис.8.1.8. Схема |
8.1.5.l. Измерения |
установки |
1. Собрать установку в соответствии с рис.8.1.8. Ввести диод в |
центр катушки. |
|
2.Включить источники Uа и Uk, предварительно выведя до минимума (до нуля) их выходные напряжения.
3.Установив анодное напряжение Ua=20 В, снять зависимость анодного тока от тока катушки: Ia(Ik). Ток Ia достаточно варьировать от 0 до 600-700 мА, когда падающий участок анодного тока вполне обозначится. Значения Ia можно фиксировать через 50-100 мА тока катушки, но в области начала падения Ia, обведенной на рис.8.1.9 пунктиром, этот интервал надо уменьшить до 25-50 мА тока катушки Ik.
4.Выполнить задание п.3 для анодных напряжений Ua=30, 40 и 50 В.
5.Установить нулевые напряжения источников и выключить их.
6.Записать данные катушки, указанные на ее этикетке. Радиус анода принять равным
4 мм.
8.1.5.2.Обработка результатов
1.Для четырех анодных напряжении — 20, 30, 40 и 50 В — построить графики Ia(Ik). Все графики строятся на одном листе миллиметровой бумаги достаточно большого размера.
2.Для каждого анодного напряжения по графикам определить критический ток катушки, а затем по формуле соленоида вычислить и соответствующие критические магнитные поля Вкр. Поскольку граница спада графика Ia(Ik) сильно размыта, то в качестве “критической точки” рекомендуется выбирать точку максимальной кривизны: на
Рис.8.1.9. К выбору |
рис.8.1.9 |
она обозначена буквой М. |
|
значения критиче- |
3. |
По четырем полученным значениям Bкр построить отдельный |
|
график зависимости В2кр(U). В соответствии с формулой (10), это |
|||
ского поля Bкр |
|||
должна быть прямая, проходящая через начало координат, однако реально полученные четыре точки скорее всего не лягут на такую прямую. В этом случае через них следует провести некоторую оптимальную аппроксимирующую прямую. Такая прямая проводится по методу наименьших квадратов (МНК), который описан в приложении 1. Критерием оптимальности в этом методе является минимум суммы квадратов отклонений экспериментальных точек от аппроксимирующей прямой.
Найти по МНК (см. прил.1) коэффициент наклона проходящей через начало координат аппроксимирующей прямой и провести ее на графике, где отложены экспериментальные точки.
4.По коэффициенту наклона полученной прямой и формуле (11) определить удельный заряд электрона е/m. Сопоставить его со справочным значением.
5.По аппроксимирующей прямой и четырем экспериментальным точкам вычислить среднюю относительную погрешность определения величины В в процентах. Примерно такая же погрешность будет и у величины е/m.
6
Вычисленная таким образом погрешность будет чисто условной и существенно заниженной, так как при этом совершенно не учитываются ухудшающие факторы, перечисленные в разделе 8.1.3.
8.1.6.Контрольные вопросы и задания
1.Что такое критическое магнитное поле в методе магнетрона?
2.Записать в декартовых координатах уравнения движения электрона в скрещенных однородных полях В и Е и решить их с нулевыми начальными условиями.
3.Вывести формулу (11).
4.Какова траектория движения электрона, влетающего в однородное магнитное поле под углом к вектору В?
5.Какова траектория движения электрона, влетающего в однородное электрическое поле под углом к вектору Е ?
6.Перечислить причины уменьшения точности метода магнетрона.
7.Какие ещё существуют методы определения удельного заряда электрона?
8.1.7.Литература
1.С.Г. Калашников. Электричество. М.: “Наука”, 1985. §§ 178, 179, 181-184.
2.Д.В. Сивухин. Общий курс физики, т.3: “Электричество”. М.: “Наука”, 1977. §§ 86, 89.