Практикум по электричеству / LAB17

Б.Н. Сипливый, В.К. Михайлов,

В.В. Подгорный, П.И. Поленичкин.

Практикум по электричеству

Лабораторная работа №17

Измерение диэлектрической проницаемости

Цель работы - измерение диэлектрической проницаемости и тангенса угла диэлектрических потерь образцов твердых и жидких диэлектриков на различных частотах с помощью осциллографа.

8.3.1.Основные понятия

8.3.1.1.Поляризация диэлектриков

Вещества, в которых нет свободных зарядов, т.е. зарядов, способных под действием электрического поля перемещаться на макроскопические расстояния называются диэлектриками. Положительные и отрицательные заряды в диэлектриках связаны друг с другом в пределах молекулы и могут смещаться из своих положений равновесия лишь на малые расстояния, порядка долей межатомных. Однако, если диэлектрик поместить в электрическое поле, то он приобретает дипольный момент, что означает некоторое разделение положительных и отрицательных зарядов в нем. Это явление называется поляризацией диэлектрика. В зависимости от химического состава и строения диэлектриков возможно несколько механизмов такого разделения зарядов (механизмов поляризации). У большинства диэлектриков реализуется один из перечисленных ниже трех механизмов поляризации.

1. Электронная поляризация. Этот механизм реализуется у диэлектриков, состоящих из неполярных молекул, т.е. из молекул, не имеющих собственного дипольного момента. Центры распределений положительного и отрицательного зарядов у таких молекул совпадают. К неполярным относятся такие симметричные молекулы, как Н2, О2, СО2, СН4 и др. Однако, если неполярная молекула попадет во внешнее поле Е, то положительные и отрицательные заряды в ней немного сместятся в противоположных направлениях, и молекула приобретет индуцированный дипольный момент, направленный вдоль поля: pi E (см.

рис.8.3.1). Каждая молекула, а вместе с ними и весь образец диэлектрика поляризуются, причем дипольный момент всего образца равен векторной сумме дипольных моментов его

молекул:

p pi

2. Ориентационная поляризация. Этот механизм реализуется у диэлектриков, состоящих из полярных молекул, т.е. имеющих собственный дипольный момент и без внешнего поля E. К таким молекулам относятся, например, Н2О, , C2H5OH, NH3 и др. Однако из-за теплового движения эти молекулы в диэлектрике, а, следовательно, и их дипольные моменты pi, ориентированы хаотично, так что их суммарный дипольный момент p =0. Внесение полярного диэлектрика в электрическое поле Е несколько упорядочивает эти элементарные диполи, и их суммарный дипольный момент ста-

новится ненулевым (см. рис.8.3.2).

2

3. Ионная поляризация. По этому механизму поляризуются ионные кристаллы, ре-

электрика является его поляризованность P, которая опpеделяется как дипольный момент единицы объема диэлектрика:

P pi

V

Как показывает опыт, для большинства изотропных диэлектриков поляризованность Р линейно связана с полем Е в диэлектрике. Эту зависимость удобно записывать в виде:

P 0E

Здесь 0=8.85 10-12, Ф/м — электрическая постоянная; безразмерный множитель >0 называется диэлектрической восприимчивостью вещества. Линейность связи (1) справедлива лишь при полях Е, много меньших внутриатомных полей Eат 107, В/м.

Замечание 1. Есть, однако, класс диэлектриков, у которых даже при небольших полях связь между P и Е не только нелинейна, но и неоднозначна, т.е. Р в данный момент зависит от предшествующих значений Е. Такие вещества называются сегнетоэлектриками.

Замечание 2. Если диэлектрик является анизотропным, то в нем, вообще говоря, поля P и Е разнонаправлены, а величина в (1) будет при этом уже не скаляром, а симметричным тензором 2-го ранга ik .

8.3.1.2. Диэлектрическая проницаемость

Как известно, в качестве функции, характеризующей электрическое поле в веществе, целесообразно ввести вектор:

Это удобно потому, что источниками поля D являются исключительно свободные заряды, т.е. не связанные с данной молекулой, в то время как источниками поля Е являются всякие заряды — как свободные, так и связанные (поляризационные). Источниками поля Р являются только поляризационные (связанные в молекулы) заряды.

Замечание. Формула (2), определяющая вектор D, справедлива как для изотропных, так и для анизотропных диэлектриков. Если подставить (1) в (2), то получим связь между векторами D и Е:

D 0E ,

где безразмерная величина и называется диэлектрической проницаемостью вещества. Она является основной характеристикой диэлектрика, связанной как с его строением, так и с химическим составом. Для любого диэлектрика (для вакуума ). В табл.8.3.1 приведены возможные значения для различных классов диэлектриков.

Табл.8.3.1.

3

Если диэлектрик поместить в переменное электрическое поле, то частотное поведение его поляризованности будет зависеть от конкретного механизма поляризации. Поскольку смещение электронного облака атома или молекулы является почти безынерционным, то диэлектрическая проницаемость неполярных диэлектриков практически не зависит от частоты вплоть до частот оптического диапазона ( 1014 Гц). Полярные диэлектрики проявляют иные свойства: даже при не очень высоких частотах упорядоченное расположение молекулярных диполей изменяется вслед за изменением внешнего поля с некоторым запаздыванием, и поэтому диэлектрическая проницаемость полярных диэлектриков может существенно зависеть от частоты даже в радиочастотном диапазоне. Вообще для всех диэлектриков из классов 3 и 6 (см. табл.8.3.1) наблюдается весьма сложные не только частотные, но и температурные зависимости диэлектрической проницаемости.

Наиболее распространенные методы определения диэлектрической проницаемости основаны на измерении емкости конденсатора, заполненного исследуемым диэлектриком, так как эта емкость пропорциональна . В случае плоского конденсатора:

где C0= 0S/d — емкость соответствующего воздушного конденсатора (при измерениях твердых или жидких диэлектриков принимается воздуха=1), S — площадь пластин, d — расстояние между ними.

8.3.1.3. Диэлектрические потери

Если смещение электронного облака атома или молекулы в переменном поле происходит практически без потерь энергии (электронная поляризация называется поэтому упругой), то переориентация диполей у полярных диэлектриков сопровождается тепловыми потерями. Это означает, что если импеданс конденсатора, заполненного неполярным диэлектриком, является чисто реактивным, то во втором случае он будет иметь и активную компоненту. Если к тому же диэлектрик является не идеальным, а обнаруживает заметную проводимость (это относится как правило к жидкостям, где различные примесные ионы могут свободно мигрировать), то в активную компоненту импеданса следует включить и это сопротивление проводимости (утечки).

Как потери, связанные с переориентацией диполей, так и потери проводимости, имеют частотную зависимость, и разделить их экспериментально невозможно. Поэтому их объединенно называют диэлектpическими потерями. Потери от переполяризации можно исключить только при постоянном (стационарном) электрическим поле.

Поскольку в конденсаторе с полярным диэлектриком от частоты зависят как общие потери, так и его емкость С (C= C0, а ), то эквивалентная схема такого конденсатора в достаточно широком диапазоне частот будет довольно сложной, и связана с конкретными частотными зависимостями потерь и емкости. Однако на какойлибо фиксированной частоте его эквивалентную схему можно изобразить в простом виде, показанном на рис.8.3.4(а). На рис.8.3.4(б) изображена соответствующая векторная диаграмма такого конденсатора.

Как видно из рис.8.3.4(а), импеданс конденсатора о потерями на фиксированной час-

тоте :

4

называется тангенсом угла диэлектрических потерь. Из рис.8.3.4(б) видно, что угол дополняет до 90o. Таким образом, для эквивалентной схемы конденсатора, показанной на рис.8.3.4(а):

Тангенс угла потерь является основной характеристикой качества диэлектрика на данной частоте: чем меньше tg , тем в большей степени конденсатор приближается к идеальному, т.е. к конденсатору без потерь с чисто мнимым импедансом. Из формулы (6) можно ожидать, что даже матеpиал со сравнительно высокой проводимостью на достаточно высоких частотах будет вести себя как почти идеальный диэлектрик (tg ). Однако не следует считать, что tg точно пропорционален 1/ , так как в свою очередь параметры диэлектрика могут существенно зависеть от частоты, т.е. R( ) и C( ).

В диэлектрике с чисто электронной поляризацией (чистые неполярные жидкости, неполярные полимеры — полиэтилен, фторопласт и др.) диэлектрические потери очень малы (tg 10-4 10-5), не зависят от частоты вплоть до 109 Гц и практически не зависят от температуры вплоть до их размягчения. В полярных диэлектриках tg имеет существенную частот-

где — удельная проводимость диэлектрика. Для случая плоского конденсатора это выражение с очевидностью следует из (6).

8.3.2.Метод измерения

8.3.2.1.Идея метода

Как отмечалось, основной целью данной работы является экспериментальное измерение и tg у твердых и жидких диэлектриков. Если частоты не очень высокие, например, f100 кГц, то наиболее удобным для этого является использование конденсатора и измерение его импеданса. Импеданс конденсатора можно измерить, например, с помощью моста переменного тока (см. раздел 4.2). Однако в настоящей работе конденсаторы, образованные парой параллельных пластин площадью S 100 см2 и с зазором d 1 мм, имеют очень маленькую емкость C 102 103 пФ, соизмеримую с паразитными емкостями соединительных проводов, и поэтому использование мостовой схемы здесь затруднительно. В связи с этим, импеданс кон-

денсатора в данной работе измеряется с помощью осциллографа Рис.8.3.5. Принципиальная путем формирования на его экране эллипса, несущего информа-

схема лабораторной уста- цию о модуле и аргументе импеданса. Идея метода состоит в

новки

следующем.

Кцепочке из последовательно соединенных исследуемого конденсатора с потерями

Си некоторого калиброванного резистора, имеющего чисто активное сопротивление R0 ,

приложим переменное синусоидальное напряжение u=USin t и сигналы с конденсатора и резистора подадим на входы Y и X осциллографа, как показано на рис.8.3.5. На экране осциллографа должен наблюдаться эллипс. Методика измерения фазовых сдвигов с помощью осциллографа описана в приложении 3. Если эллипс вписан в квадрат, то искомый фазовый сдвиг определяется путем измерения его малой (а) и большой (b) полуоси:

Если перевести осциллограф в режим калиброванного измерения по входу Y, то по размеру описанного прямоугольника и цене деления экрана по горизонтали x (В/дел) и по вертикали y (В/дел) легко определить амплитуды входных напряжений Ux и Uy

где I — амплитуда общего тока через C и Ro , Zc — импеданс конденсатора с потерями (4). Отсюда:

Zc =RoUy/Ux. (9)

Пара уравнений (8) и (9) с учетом (4) и (5) и определяют неизвестные параметры конденсатора R и С, а для получения тангенса угла потерь достаточно даже одного соотношения (8).

8.3.2.2.Особенности

Впринципиальной схеме, изображенной на рис.8.3.5, не учтены емкости коаксиаль-

ных соединительных кабелей Cxk и Сyk, а также входные емкости самого осциллографа Cxвх и Cyвх по входам Х и Y. Все эти емкости

малы ( 10 100 пФ), но такого же порядка и емкость исследуемого конденсатора, поэтому пренебрегать ими, вообще говоря, нельзя, и реальную эквивалентную схему измерительной установки следует рассматривать в виде, показанном на рис.8.3.6. Здесь С — ис-

следуемый конденсатор; Cx=Cxвх+Сxк — общая входная емкость канала X; Сy=Cyвх+Сyк — общая входная емкость канала Y; С1-65

— осциллограф со входом X; Г3-109 — генератор синусоидальных колебаний.

Казалось бы, в этом случае фазовые соотношения между сигналами ux и uy сильно усложняются, однако сопротивление R0 выбрано таким ( 100 0м), что во всем диапазоне частот генератора оно практически полностью шунтирует емкость Сx, и ею можно пренебречь. Действительно, если Сx 100 пФ; Ro 100 0м, то даже на максимальной частоте генератора f=200 кГц:

Zcx = 1/(2 fCx) 104 Ом Ro

так что напряжение на входе Х останется практически синфазным току в цепи RoC. Емкость же Сy просто добавляется к С, и впоследствии ее надо только вычесть из суммарной емкости C , которая будет фигурировать в соотношениях (4)-(6) и (9) вместо С:

рис.8.3.6, но в которой удален конденсатор С. Практически для этой цели коаксиальные измерительные кабели и резистор R0 должны быть соединены с приборами так, как показано на рис.8.3.7. Поскольку диэлектрические потери в кабеле и на входной емкости осциллографа Cyвх пренебрежимо малы, то импеданс емкости будет чисто реактивным:

Zy= j/( Cy),

а фазовый сдвиг между напряжениями uy и ux : . Следовательно, на экране будет наблюдаться эллипс, близкий к окружности. Зная цены делений экрана по вертикали и горизонтали, легко определить амплитуды напряжений Ux и Uy, а затем из формулы (9)

— и искомую емкость Сy:

денсатор С, как показано на рис.8.3.8 (соединениям на рис.8.3.8 в точности соответствует

6

эквивалентная схема рис.8.3.6), и измеряется суммарная емкость (11) по описанной выше методике.

8.3.3. Образцы и приборы

Исследованию подлежат несколько образцов твердых диэлектриков (стекло, гетинакс и др.) и два жидких - дистиллированная вода и этиловый спирт. У твердых диэлектриков, ввиду пренебрежимо малых потерь и практически незаметной зависимости от частоты, измеряется только диэлектрическая проницаемость на одной частоте f =100 кГц. У жидкостей измеряются и tg на частотах f =10,20,50,100,150 и 200 кГц.

Образцы твердых диэлектриков выполнены в виде плоских пластинок, которые поочередно зажимаются между металлическими обкладками, образующими плоский конденсатор. Зажимающие обкладки смонтированы на специальной панели, содержащей также калибровочный резистор R0 (далее этот узел будем называть твердотельной ячейкой). Площади образцов (все равные площади обкладок), их толщины, а также величина R0 указаны на рабочем месте. Жидкости заливаются в узкую плоскую кювету с металлическими обкладками, также образующими плоский конденсатор. Кювета смонтирована на отдельной панели, также содержащей резистор R0, но возможно другого номинала, чем на первой панели (этот узел будем называть жидкостной ячейкой). Размеры кюветы указаны. Все эти данные, содержащиеся на рабочем месте, следует переписать перед выполнением работы.

Кроме перечисленных образцов, в работе надо измерить также диэлектрическую проницаемость материала заполнения используемого коаксиального кабеля (полиэтилена). Как известно, отрезок коаксиального кабеля представляет собой цилиндрический конденсатор емкостью Ск:

где R1 и R2 — радиусы внутреннего и внешнего проводников, l — длина кабеля. Радиус внешнего проводника (оплетки) измеряется изнутри, т.е. как радиус охватываемого им диэлектрика. Для измерений емкости конденсатора и потерь в нем используются приборы: осциллограф со входом X и генератор синусоидальных колебаний частотой до 200 кГц с регулятором выходного напряжения.

8.3.4. Программа работы

Работа выполняется за два занятия: на первом выполняется все, кроме раздела 8.3.4.4; на втором занятии выполняется все, кроме раздела 8.3.4.3. Порядок выполнения работы может быть и обратным.

8.3.4.1.Калибровка осциллографа по входу X

1.Включить осциллограф и установить его в режим работы у(х). т.е. в режим измерения по двум входам. Передача по входу Х — “1:1”. Включить калибратор осциллографа в

режим “ 1 кГц” и поставить переключатель его выходного напряжения в положение “1В”. При этом внутренний генератор осциллографа будет выдавать меандр амплитудой 1 В

ичастотой 1 кГц.

2.Соединить сигнальным штырем кабеля выход калибратора со входом X. Экранный

(оплеточный) штырь кабеля не используется. Регулировками “ “, “ ” и “ “ добиться появления на экране двух точек на одной горизонтали. Расстояние между точками соответствует входному напряжению Ux=1 В.

3 Подсчитав число делении между точками, определить цену деления экрана по горизонтали x (В/дел).

Замечание. Цена деления по вертикали y определяется по переключателю усиления канала Y при повернутом вправо до щелчка соосного ему плавного регулятора усиления.

4. Выключить калибратор, оставив включенным сам осциллограф.

7

8.3.4.2. Измерение суммарной входной емкости Сy и диэлектрической проницаемости материала заполнения кабеля

1. Собрать схему, показанную на рис.8.3.7, используя в качестве Ro резистор любой ячейки, например, твердотельной. Кабели подключить разъемами к осциллографу, а сигнальными штырями — к выходу генератора. Экранный штырь левого кабеля не используется и висит в воздухе, а экран правого соединен с резистором. Свободная клемма резистора подключается к выходу генератора. Генератор и осциллограф в этой работе не должны касаться корпусами друг друга.

Внимание! В данной работе недопустимо путать сигнальный (соединенный с центральным проводом) и экранный (соединенный с оплеткой) штыри кабеля. Экранный конец обычно длиннее и на нем ставится знак “ ”.

2.Установить осциллограф в режим работы у(х). Передача по входу Х — “1:1”. Чувствительность по входу Y минимальна, т.е. 10 В/дел.

3.Установить частоту генератора 100 кГц. Регулятор выходного напряжения — в среднем положении. Положение дискретного переключателя напряжения — любое, так как он относится к коаксиальному выходу. Переключатель “Нагрузка” — в положении “600 0м”

4.Включить генератор. Регулировками осциллографа добиться появления на его экране эллипса, симметрично расположенного относительно осей “x” и “y”.

5.Переключателем усиления канала Y (при выведенной вправо до щелчка соосной плавной регулировке) и регулятором выходного напряжения генератора сделать эллипс таким, чтобы он занимал по возможности большую часть сетки экрана. Убедиться, что эллипс не наклонен; это соответствует чисто реактивному импедансу кабеля и отсутствию в нем потерь.

6.Зная цены делений x и y, по размерам эллипса определить амплитуды входных напряжений Ux и Uy, а затем по формуле (12) — суммарную входную емкость Cy (пФ) канала

Y.

7.Зная входную емкость Cвхy непосредственно осциллографа (она написана у его входа Y), определить по формуле (11) емкость соединительного кабеля Cyк (пФ). Именно этот кабель и должен использоваться в канале Y на протяжении всей работы.

8.Измерить длину l коаксиальной части кабеля Y, а по специально приготовленному отрезку такого же кабеля — радиусы R1 и R2.

8.3.4.3.Измерения на твердотельной ячейке

1.Собрать схему с твердотельной ячейкой, показанную на рис.8.3.8. Фактически для этого надо лишь добавить исследуемый конденсатор С в схему (рис.8.3.7), по которой выполняется раздел 8.3.4 2. Исходные состояния приборов те же, что и в разделе 8.3.4.2. Час-

тота f=100 кГц.

2.Зажать между пружинящими обкладками ячейки один из образцов твердых диэлектриков и выполнить для него измерения, указанные в п.п. 4 и 5 раздела 8.3.4.2.

3.Зная цены делений x и y, по размерам эллипса определить амплитуды входных напряжений Ux и Uy, а затем по формуле типа (12) - суммарную емкость C :

4.Из (10) вычислить емкость С исследуемого конденсатора.

5.Выполнить п.п. 2-4 настоящего раздела для всех остальных образцов твердых диэлектриков.

8.3.4.4.Измерения на жидкостной ячейке

1.Собрать схему с жидкостной ячейкой, показанную на рис.8.3.8. Исходные состояния приборов те же, что и в разделе 8.3.4.2. Выставить частоту генератора f=10 кГц.

2.С помощью шприца с трубкой заполнить кювету до краев дистиллированной во-

дой.

8

3.Включить генератор и осциллограф. На экране должен наблюдаться узкий наклонный эллипс. Установить его симметрично относительно центра экрана.

4.Регулировкой выходного напряжения генератора установить амплитуду колебаний по оси “x” в 3 деления шкалы экрана. Дискретной и плавной регулировками усиления осциллографа по Y установить амплитуду колебаний по оси “y” также в 3 деления, т.е. впи-

сать эллипс в квадрат 6 6.

5.По нанесенным на экран диагональным шкалам измерить большую (b) и малую (а) полуоси эллипса.

6.Выведя плавную регулировку усиления Y вправо до щелчка, измерить амплитуду напряжения Uy на входе Y.

7.Выполнить п.п. 4-6 для частот 20, 50, 100, 150 и 200 кГц.

8.Полностью выбрать шприцом воду из кюветы и заполнить ее до краев спиртом. (Даже незначительное взаимное “загрязнение” столь разнородных жидкостей может привести к заметному искажению результатов.)

9.Произвести аналогичные измерения для всех шести частот со спиртом, а затем шприцом полностью выбрать его из кюветы.

10.Выключить приборы и разобрать рабочую схему.

8.3.4.5. Обработка результатов

По разделу 8.3.4.2.

1.Записать емкости Cyвх, Cyк и Сy в пикофарадах.

2.Записать геометрию кабеля канала Y (R1, R2, l)

3.По формуле (13) вычислить проницаемость заполнения кабеля.

По разделу 8.3.4.3.

1.По измеренным емкостям С плоских конденсаторов вычислить с помощью формулы (3) диэлектрические проницаемости образцов.

2.Данные занести в таблицу:

f = 100 кГц, S = ... см2, Ro= ... Ом, x= ... В/дел.

По разделу 8.3.4.4.

Для каждой жидкости и всех шести частот выполнить следующие пункты:

1. По измеренным полуосям эллипса а и b вычислить из формулы (8) фазовый сдвиг

.

2.Вычислить тангенс угла диэлектрических потерь по формуле tg tg .

3.По формуле (9) вычислить модуль импеданса ZC системы "исследуемый конденсатор — емкость Сy, где C определяется из (10).

4.Из (4) следует, что:

а из (6):

1/ RC = tg .

Из пары этих уравнений вычислить неизвестные R и C , а затем из (10) определить С (R и С

— это параметры плоского конденсатора с исследуемой жидкостью, показанные на рис.8.3.4(а)).

9

5.По формуле (3) вычислить .

6.Результаты занести в две таблицы:

Вода. d = ... мм, S = ... см2, Ro= ... Ом, x= ... В/дел, табл= ...

Таблица для спирта аналогична.

7.Для каждой жидкости на отдельном листе построить по паре графиков f и

tg f .

8.Предполагая, что на самой низкой частоте f=10 кГц потери в воде и спирте обу-

словлены только их проводимостями, определить по формуле (7) их значения и удельные сопротивления . Величину вычислить также из формулы:

R = d/S,

где R берется из таблицы при частоте 10 кГц.

8.3.5.Контрольные вопросы и задания

1.Что такое поляризация диэлектрика? Какие бывают механизмы поляризации?

2.Чем вызваны диэлектрические потери при переполяризации диэлектрика в переменном поле?

3.Дать определения следующих величин:

3.1.диэлектрической восприимчивости,

3.2.диэлектрической проницаемости,

3.3.тангенса угла диэлектрических потерь.

4.Вывести формулу (3).

5.Вывести формулу (13).

6.Вывести формулу (6).

7.Вывести формулу (7) для случая плоского конденсатора.

8.Изложить идею измерения емкости конденсатора и тангенса угла диэлектрических потерь в нем с помощью осциллографа.

9.В лаборатории емкости конденсаторов без потерь измеряются еще тремя методами. Перечислить их.

10.Почему в работе учитывается входная емкость Cy и не учитывается Cx?

11.Вывести выражения дяя модуля импеданса и tg конденсатора с потерями. Считая параметры R и С в эквивалентной схеме такого конденсатора не зависящими от частоты, качественно изобразить графики Z( ) и tg ( ).

12.Изобразить пространственные структуры молекул воды и этилового спирта.

8.3.6.Литература

1.С.Г. Калашников. Электричество. М.: Наука, 1985. §§ 32, 38-42, 46-50.

2.Р. Фейнман и др. Фейнмановские лекции по физике. Т.5. М.: Мир, 1977. Гл. 10, 11.

3.И.В. Иродов. Основные законы электромагнетизма: Учебное пособие/ М.: Высшая школа. 1983. §§ 3.1, 3.2, 3.4, 3.6.