Практическое занятие 8

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

(Обозначают )

соответствующие вероятности тогда

если дискретная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходиться абсолютно.

Пример 1. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна p.

Х – число появлений А.

X	0	1
		p

Пример 2 Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение: Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина , которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностьюи 0 (промах) с вероятностью

Аналогично, - математическое ожидание числа попаданий при втором вы стреле;

- математическое ожидание числа попаданий при третьем выстреле.

Общее число попаданий есть случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадрата ее математического ожидания

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

Задачи:

1. Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно m шестерок, если общее число бросаний равно N.

2. Случайные величины X, Y независимы. Найти дисперсию величины , если известно, что,.

3. Найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Х	4,3	5,1	10,6
р	0,2	0,3	0,5

Практическое занятие 9

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию - первую производную от функции распределения:

Если - плотность распределения, то функцию распределенияможно найти по формуле:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах отa и b:

Если - плотность распределения, то функцию распределенияможно найти по формуле:

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл

Если возможные значения Х принадлежат всей оси , то

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения Х принадлежат отрезку , то

Если возможные значения Х принадлежат всей оси , то

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством

Пример 1. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x).

Решение:

Если , то, следовательно.

Если , то.

Если , то.

Искомая функция

.

Пример 2. Случайная величина задана плотностью распределения в интервале (0,1), вне этого интервала. Найти математическое ожидание.

Решение:

.

Ответ:.

Задачи:

1. Случайная величина задана плотностью распределения в интервале (0,), вне этого интервала. Найти математическое ожидание и дисперсию.

2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения

.