ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ

Центр дистанционных технологий

Кафедра физико-математической подготовки

Е.В. Волобуева

Методические указания

к практическим занятиям по дисциплине

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

для студентов очной формы обучения

по направлению 230100

«Информатика и вычислительная техника»

Воронеж 2006

Практическое занятие 1

КОМБИНАТОРИКА. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ.

Правило произведения. Пусть из некоторого конечного множества

1-й объект можно выбрать k₁ способами,

2-й объект можно выбрать k₂ способами,

…………………………………………….,

n-й объект можно выбрать k_n способами.

Тогда произвольный набор перечисленных n объектов из данного множества можно выбрать k₁k₂…k_n способами.

Пример 1. Сколько существует трехзначных чисел с разными цифрами?

Решение. В десятичной системе исчисления десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. На первом месте может стоять любая из девяти цифр (кроме нуля). На втором месте – любая из оставшихся 9 цифр, кроме выбранной. На последнем месте любая из оставшихся 8 цифр. По правилу произведения 998 = 648 трехзначных чисел имеют разные цифры.

Правило суммы. Пусть из некоторого конечного множества

1-й объект можно выбрать k₁ способами,

2-й объект можно выбрать другими k₂ способами,

…………………………………………….,

n-й объект можно выбрать k_n способами, отличными от первых (k – 1).

Тогда любой из объектов можно выбрать k₁ + k₂ +…+ k_n способами.

Пример 2. Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, содержащей 5 красных, 7 синих, 3 зеленых карандаша?

Решение. Один карандаш, по правилу суммы, можно выбрать 5 + 7 + 3 = 15 способами.

Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору наудачу k элементов из n (0 < k  n). При этом выбранные элементы: а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращения); б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).

Схема выбора без возвращений.

Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из k элементов (0 < k  n). Например, из 5 элементов a, b, c, d, e могут быть отобраны комбинации по 2 элемента: ab, cd, be, ba, ce и т. д.; по 3 элемента: abc, cbd, cba, ead и т. д.

Размещением из n элементов по k называют любой упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n элементному множеству. Различные размещения отличны друг от друга или порядком элементов, или составом.

Число размещений из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

(1)

или . ()

Пример 3. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающийся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования, т.е. является размещением из 11 элементов по 5. Число вариантов расписаний, т. е. число размещений из 11 по 5, находим по формуле ():

.

Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n. Число перестановок из n элементов обозначают и вычисляют по формуле:

. (2)

Пример 4. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т. е. является перестановкой из 7 элементов. Их число по формуле (2):

.

Сочетанием из n элементов по k называется любой набор из k элементов, принадлежащих n элементному множеству. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

. (3)

Числа, которые определяются по формуле (3), называются биномиальными коэффициентами.

Пример 5. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? А если выбрать одну красную гвоздику и 2 розовых?

Решение. Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 14 гвоздик, можно способами.

Одну красную гвоздику можно выбрать способами. Выбрать 2 розовые гвоздики из имеющихся 4-х можноспособами. Поэтому букет из одной красной и двух розовых гвоздик можно составить, по правилу произведения,способами.

Схема выбора с возвращением.

Если в размещениях (сочетаниях) из n элементов по k некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие размещения (сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями из n элементов по k.

Например, из 5 элементов a, b, c, d, e по 3 размещениями с повторениями будут abc, cba, bcd, cdb, bbe, ebb, beb, ddd и т.д., сочетаниями с повторениями будут abc, bcd, bbe, ddd и т.д.

Число размещений с повторениями из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

, (4)

а число сочетаний с повторениями из n элементов по k равно

, (5)

где определяется по формуле (3).

Задачи:

1. Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова БУРАН? А если «слова» содержат не менее трех букв?

2. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?

3. Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в соревнованиях надо составить три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Сколькими способами это можно сделать?

4. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами мижно выбрать двух студентов одного пола?

5. Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны?

6. В электричке 12 вагонов. Сколько существует способов размещения 4 пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира?

7. Сколькими способами три награды могут быть распределены между 10 участниками соревнования?

8. Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?

9. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определенные три книги стояли рядом? Не рядом?

10. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом? (Рассматривается только расположение сидящих относительно друг друга).

11. 10 студентов, среди которых С. Федин и А. Шилов, случайным образом занимают очередь в библиотеку. Сколько имеется вариантов расстановки студентов, когда между Фединым и Шиловым окажутся 6 студентов?

12. У одного школьника имеется 7 различных книг для обмена, а у другого – 16. Сколькими способами они могут осуществить обмен: книга на книгу? Две книги на две книги?

13. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было: а) 5 черных; б) 3 белых и 2 черных?

14. Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном и них имеется 8, в другом – 5 и в третьем – 2 вакантных места?

15. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на хорошо и отлично. Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?

16. Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между четырьмя ребятишками?

17. Сколькими способами можно составит набор из 6 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных?

18. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове: а) ГОРА; б) ИНСТИТУТ?

19. Сколько существует способов размещения 9 человек в двухместный, трехместный и четырехместный номера гостиницы?