Пример
|
|
|
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
A 3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
||
Характеристическое уравнение: |
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
3 |
0 |
|
|
( 4)( 2)2 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A I |
|
|
3 |
1 |
0 |
|
|
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
2 |
|
|
|
СЗ 1 4, 2 2, 3 2
Пример (продолжение)
|
(1) 4 уравнение для |
нахождения |
СВ : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 4 |
3 |
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 3 |
0 |
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 1 4 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
3 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
2 4 |
z |
|
|
|
|
0 |
6 |
z |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 0z 0
1 P1 1
0
|
|
(2) 2 |
|
уравнение |
для нахождения |
СВ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 2 |
3 |
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
1 2 |
0 |
|
|
|
|
0 |
x y 0 |
P2 |
1 |
, |
P3 |
0 |
||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|||
|
2 2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
0 |
|
||
P [P1 P2 |
|
1 |
|
|
P 1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
||||
P3 ] 1 |
0 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
так что P 1 AP 0 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
4.Линейный оператор с простым спектром
Определение 4.1 Набор всех собственных значений оператора называется спектром оператора.
Определение 4.2. Линейный оператор n-мерного векторного пространства, имеющий n попарно различных собственных значений, называется оператором с простым спектром.
Следствие 4.3.
(1) Матрица оператора с простым спектром подобна диагональной матрице, у которой на диагонали стоят собственные значения оператора.
|
|
3 |
1 |
|
Пример: матрица |
|
|
является матрицей |
|
1 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
оператора с простым спектром
|
3 |
1 |
|
2 |
6 8 0 |
|
|
|
|||||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
1 2, |
2 |
4. |
|
|
||
собственные векторы для
2 |
P |
1 |
|||
, |
|||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
4 |
P |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 2 |
1 2 |
|
|
|
P 1 |
|
|
||
P |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 2 |
1 2 |
||
1 2 |
1 2 |
|
|
3 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|||||
1 2 |
1 2 |
|
|
1 |
1 |
|
|||||
|
1 2 |
1 2 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 2 |
1 2 |
|
4 |
|
0 |
4 |
|
|||||