Решение задач и по случайным величинам и законам их распределения
1) Производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью Р(А) = р=0,8, Х – число наступлений события А в n испытаниях. Для случая малого n (n=4) построить ряд распределения, функцию распределения случайной величины Х, найти М(Х), D(Х) и Р(Х≤2).
2) В тёмной комнате 7 красных кубиков и 8 синих, не отличаемых друг от друга на ощупь. Мальчик вынес три кубика. Х – случайная величина числа красных кубиков среди вынесенных. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Построить график функции распределения F(x) = P(Х < x) и найти вероятность Р(Х < 2).
Решение. Возможные значения случайной величины Х: 0,1,2,3. Пусть им соответствуют вероятности Р0, Р1, Р2, Р3. Найдём их, используя непосредственный подсчёт:
1. Случайная величинаX |
имеет |
|
|
|
|
|
|
||
распределение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
-1 |
-0,5 -0,1 |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
P 
0,005 
0,012 
0,074 
0,102 
0,148 
0,231 
0,171 
0,16 
0,081 
0,016 
Найти: а) |
|
|
x |
|
|
1 |
|
; б) P X 0 ; |
в) P 1 X 2 |
|
|
||||||||
P |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: а) 0,738; б) 0,091; в) 0,257 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым 0,4. Составить закон распределения числа попаданий при двух выстрелах, найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в мишень. Построить график
функции распределения.
F (x)
X |
0 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M X xi p(x) 0 0,3 1 0,5 2 0,2 0,9; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д X M (X 2 ) mx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1,3 0,81 0,49 |
|
|
|
1 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|||||||||||
3. Случайная величина имеет следующее распределение: X
X
P
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
Найти выражение и построить график функции распределения случайной величины X Найти математическое ожидание и дисперсию. Ответ: P 0,4; M X 0,2; Д X 1,36.
Пример. Дана функция плотности распределения
Найти: 1) параметр А; 2) построить графики плотности и функции распределения; 3) Р(1 < x < 4); 4) М(Х), D(X), σ(X).
