Цель работы:

Изучение метода конечных элементов на примере решения задачи о кручении стержня круглого сечения с использованием линейных треугольных элементов.

Исходные данные:

b = 2 см

M_k = 120 Н^.см

Максимальное касательное напряжение

Модуль сдвига G = 8^.10⁶ Н/см²

Схема разбиения элемента:

Таблица координат узлов фрагментов (Mf=3, Mn=18):

№ узла j	Координаты узлов
		Xj	Yj
1		0.00	0.00
2		0.50	0.00
3		1.00	0.00
4		1.50	0.00
5		2.00	0.00
6		1.75	0.43
7		1.50	0.87
8		1.00	0.87
9		1.25	1.30
10		1.00	1.73
11		0.75	2.16
12		0.50	1.73
13		0.50	2.60
14		0.25	3.03
15		0.00	3.46
16		0.00	2.60
17		0.00	1.73
18		0.00	0.87

Таблица соединения фрагментов:

Номер фрагмента	Стороны фрагмента
	1	2	3	4
1	2	0	2	0
2	0	0	1	3
3	0	2	0	0

Таблица данных о разбиении фрагментов и связи глобальных и локальных номеров узлов:

Номер фрагмента	ξ строки	η столбцы	1	2	3	4	5	6	7	8
1	3	5	10	8	3	4	5	6	7	9
2	5	5	17	18	1	2	3	8	10	12
3	5	3	15	16	17	12	10	11	13	14

Сетка элемента, разбитого на фрагменты:

Таблица данных о сетке элементов:

Ввод параметров, сборка системы уравнений, ввод граничных условий, решение системы:

Модуль сдвига:

Крутящий момент: 120 Нм

Количество осей симметрии: 1

Количество граничных узлов: 24

Номера граничных узлов:

44,45,31,32,33,34,35,30,25,20,15,10,5,4,3,2,1,6,11,37,36,38,40,42

Уровни значений в графическом виде:

Уровни значений в виде таблиц:

Максимальное напряжение 50,1940 в элементе №1

Вычисление теоретического значения касательного напряжения:

Теоретическое значение максимального касательного напряжения:

Абсолютная погрешность вычислений:

.

Вывод:

Способ разбиения и количество узлов использованных в данной работе удовлетворяют полученной абсолютной погрешности, которая равна 7,26%, что меньше 10%, и что говорит о достаточной точности разбиения. При увеличение разбиения погрешность уменьшается.

Ответы на контрольные вопросы:

1. Крутка сечения стержня – это угол Θ закручивания на единицу длины [рад/см].

2. Депланация – это искривление поперечных сечений стержня.

3. Основные этапы решения задачи о кручении стержня приведены выше в отчете (после пункта «Задание»).

4. Граничные условия в задаче о кручении стержня – функция напряжения φ = 0.

5. Истинные касательные напряжения в сечении стержня считаются по формуле

6. Значения функции напряжений вычисляются в узлах сетки конечных элементов.

7. Матрица жесткости элемента вычисляется по формуле -

где [B^(e)] – матрица градиентов элемента, [D^(e)] – единичная матрица.

13