Исследование операций / всякое / Практика 1_6

3

http://allmath.ru/appliedmath/operations/problems-tgru/zadachi1.htm

Задача 1

Выполнить заказ по производству 32 изделий И1 и 12 изделий И2 взялись 2 бригады. Фонды времени работы каждой бригады равны 8 часам. Известны производительности бригад по производству изделий. Производительности 1-ой бригады: 4 изд/час для И1 и 2 изд/час для И2, производительности 2-ой бригады: 1 изд/час для И1 и 3 изд/час для И2. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для 1-ой бригады равны соответственно 9 и 16 руб., для 2-ой бригады – 15 и 20 руб..

Найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

Переменные задачи

Искомыми величинами в задаче являются объемы выпуска двух видов изделий. Изделия будут выпускаться двумя бригадами. Поэтому необходимо различать количество разного вида изделий, произведенных первой и второй бригадами. Вследствие этого в данной задаче 4 переменные. Для удобства восприятия можно использовать двухиндексную форму записи – количество изделий (j=1,2), изготавливаемых бригадой (i=1,2), а именно:

х₁₁ – количество изделий первого вида, изготавливаемых первой бригадой;

х₁₂ – количество изделий второго вида, изготавливаемых первой бригадой;

х₂₁ – количество изделий первого вида, изготавливаемых второй бригадой;

х₂₂ – количество изделий второго вида, изготавливаемых второй бригадой.

Целевая функция

Целью решения задачи является выполнение плана с минимальными затратами, т.е. критерием эффективности решения служит показатель затрат на выполнение всего заказа. Таким образом, ЦФ имеет вид:

F=9*X₁₁ + 16*X₁₂ + 15*X₂₁ + 20*X₂₂ → min

Ограничения

Возможные объемы производства изделий бригадами ограничиваются следующими условиями:

• общее количество изделий первого вида, выпущенное обеими бригадами, должно равняться 32 шт., а общее количество изделий второго вида – 12 шт.;

• время, отпущенное на работу над данным заказом, составляет для каждой бригады – по 8 час.;

• объемы производства изделий не могут быть отрицательными величинами.

Таким образом, все ограничения данной задачи делятся на 3 группы, обусловленные:

1) величиной заказа на производство изделий;

2) фондами времени, выделенными бригадам;

3) неотрицательностью объемов производства.

1. Ограничения по заказу изделий будут иметь следующий вид:

X₁₁ + X₂₁ = 32

X₁₂ + X₂₂ = 12

2. Ограничение по фондам времени будут иметь содержательную форму:

Общее время, затраченное первой бригадой на выпуск всех изделий	<=	8
Общее время, затраченное второй бригадой на выпуск всех изделий	<=	8

Проблема заключается в том, что в условии задачи прямо не задано время, которое тратят бригады на выпуск одного изделия каждого вида, т.е. не задана трудоемкость производства. Но имеется информация о производительности каждой бригады, т.е. о количестве производимых изделий в 1 ч. Трудоемкость и производительность являются обратными величинами, т.е.:

Трудоемкость = 1 / a_ij

В математическом виде ограничения по фондам времени будут иметь следующий вид:

3. Неотрицательность объемов производства задается как:

X_ij >= 0 (i=1,2; j=1,2)

Таким образом, полная математическая модель этой задачи имеет вид:

F=9*X₁₁ + 16*X₁₂ + 15*X₂₁ + 20*X₂₂ → min (3.1)

при ограничениях:

X₁₁ + X₂₁ = 32

X₁₂ + X₂₂ = 12

(3.2)

X_ij >= 0 (i=1,2; j=1,2)

Решение в Excel:

Задача 2

Выполнить заказ по производству 120 изделий И1 и 86 изделий И2 взялись 3 бригады. Время, необходимое 1-ой бригаде по производству изделий И1 и И2 составляет соответственно 10 и 20 минут на изделие, фонд рабочего времени этой бригады 12 ч. Время, необходимое 2-ой бригаде – соответственно 12 и 18 минут на изделие, а ее фонд рабочего времени – 8 ч. Время, необходимое 3-ей бригаде – соответственно 8 и 24 минут на изделие, а ее фонд рабочего времени – 10 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для 1-ой бригады равны соответственно 12 и 10 руб., для 2-ой бригады – 16 и 24 руб., для 3-ей бригады – 14 и 20 руб.

Найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

Как изменится полученное решение, если фонды времени 2-ой бригады увеличится до 12 часов, а 3-ей бригады до 20 часов?