Кубанский государственный технологический университет
Институт информационных технологий и безопасности
Кафедра компьютерных технологий и информационной безопасности
Учебная дисциплина
Электротехника и электроника
Лекция № 7
Резонанс в электрических цепях
Учебные вопросы:
1. Резонанс напряжений. Параметры и частотные характеристики колебательного контура.
2. Резонанс токов. Параметры и частотные характеристики колебательного контура.
3. Полоса пропускания колебательного контура.
Литература:
1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы теории цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 105 – 113
2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 54 – 66.
3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, - М.: Высшая школа, 2003 г, с. 37 –83.
1. Резонанс напряжений. Параметры и частотные характеристики колебательного контура.
Резонанс напряжений возможен на участке ЭЦ, содержащей последовательно соединенные: резистивный - R, индуктивный – L и емкостной – С элементы.
|
|
|
|
|
i |
|
|
R |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
uR(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) |
|
u |
|
|
|
|
|
|
u (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Действующее значение тока в цепи на основании закона Ома |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
U e |
j U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
j( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
j |
|
||||||||
|
I I( j ) I e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
||||||||||||||||||
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
||||||||||||||||||||
|
|
Z e j Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R2 X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
R2 (X L XC )2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Z Z( ) |
|
R2 ( L |
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
, X ( ) 0 |
|
|
||||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
u i |
( ) |
|
|
|
|
R |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Модуль комплексного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
X ( ) |
, X ( ) 0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
сопротивления цепи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аргумент Z характеризует сдвиг фаз |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(последовательного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
контура) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между U и I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Режим работы неразветвленного участка цепи, содержащей
последовательно соединенные резистивный - R, индуктивный – L и емкостной – С элементы, при котором ее ток и напряжение совпадают по фазе называется резонансом напряжений
I I( ) |
U |
|
|
U |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
max? |
|
Z( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R2 (X L XC )2 |
R |
2 |
( L |
1 |
) |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При резонансе = 0, если Х = ХL – XC = L –1/ C = 0, что может
быть выполнено лишь для |
|
некоторой частоты = 0. В этом случае |
||||
0 L |
1 |
02 LC 1 |
|
I0 |
I( 0 ) Imax U |
var L,C или |
|
||||||
0C |
|
|
|
R |
|
|
В последовательном контуре из токов с различными частотами выделяется ток, только одной определенной частоты
Частота входного напряжения при которой наступает резонанс,
обозначается 0 и называется резонансной или собственной частотой последовательного колебательного контура.
0 
L1 C или f0 2 1LC
Реактивные сопротивления контура на частоте 0 равны друг другу. |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
Характеристическое |
|
X L ( 0 ) XC ( 0 ) 0 L |
|
L |
|
Ом |
||||
|
(волновое) сопротивление |
|||||||
|
|
|||||||
0C |
|
|
C |
|
|
контура |
||
Резонансные свойства (избирательность) контура
Q |
|
или |
d |
1 |
|
R |
Q |
||||
|
|
|
Пример: Пусть U= 12 В, XL( 0) = XC( 0) = 500 Ом, R = 6 Ом.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение тока на |
I0 |
U |
|
12 |
2A |
|
UC0 I0 XC ( 0 ) UL0 I |
0 X L ( 0 ) |
|||||||||||||||||||||||
резонансной частоте |
|
R |
|
6 |
|
2 500 1000B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
UR0 I0 R 2 6 12B, т.е. UC 0 UL0 UR0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
U |
|
|
U |
|
|
|
I |
|
L |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Физический смысл |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
L |
|
|
|
Q |
|||||||||||||||
|
добротности |
|
|
L0 |
|
|
C 0 |
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
U |
|
U |
|
|
U U 0C |
|
|
C R |
|
|
R |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Добротность показывает, во сколько раз резонансные напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряжение (напряжение источника входного сигнала) термин
«резонанс напряжений»
Частотные характеристики последовательного контура
|
|
|
Анализ |
|
характера |
уравнений напряжений и токов в RLC цепи |
||||||||||||||||
|
|
|
показывает, что они все являются частотно-зависимыми. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X L ( ) L, XC ( ) |
|
1 |
, X ( ) ( L |
1 |
) |
|
|
|
|
XL( ), |
XC ( ), X( ), |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
C |
|
|
|
|
Z( ) |
частотные |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристики цепи, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Z( ) R |
2 |
( L |
1 |
) |
2 |
, ( ) arctg |
( L |
C |
) |
|
|
( ) |
фазочастотная |
||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристика цепи |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R,Z,X |
Z( ) |
|
XL( ) |
( ) |
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XС( ) |
R |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
Индуктивный |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
X( ) |
характер цепи |
- /2 |
|
|
L |
|
||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим частотные зависимости действующих значений тока в цепи и напряжений на реактивных элементах контура.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
I( ) U |
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
I0 |
Imax U , при 0 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Z |
R2 ( L |
|
1 |
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экстремумы на частоте |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
UL ( ) I( )X L ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
max |
|
L0 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
( L |
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Q2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
UL ( ) I( )XC ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
С0 0 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C R |
2 |
( L |
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
2Q2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимости I( ), UL ( ), UC ( ) – называются амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) относительно тока и напряжений, или
резонансными характеристиками.
Для нахождения экстремумов UL ( ), UC ( ) необходимо:
UL ( ) 0
UC ( ) 0
На частотах L0 и С0 напряжения на реактивных элементах контура примут максимальное значение.
UC max UL max |
2UQ2 |
|
|
2U |
|
|
4Q2 |
1 |
4 |
d 2 |
|||
|
d |
|||||
U,I |
|
|
|
|
|
|
UQ UC( ) |
|
|
U( ) |
|
||
U |
|
|
|
|
|
|
I0 
I( )
C0 0 L0
С увеличением добротности контура (уменьшением затухания) частотыL0 и С0 сближаются с резонансной частотой 0, при этом I0, UL ( ),
UC( ) возрастают и кривые становятся острее.
2. Резонанс токов. Параметры и частотные характеристики
колебательного контура.
Резонанс токов возможен на участке ЭЦ, в которой катушка индуктивности – L и конденсатор – С включены параллельно источнику сигнала.
|
Сопротивления R1 и R2 учитывают |
i(t) |
потери в ветвях контура |
|
L |
|
iC(t) |
G1 |
|
|
|
R1 |
|
В1 |
|
L |
||||
|
|
|
R12 |
( L)2 |
R12 ( L)2 |
|||||||||||
u(t) |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R |
iL(t) |
G2 |
|
|
|
|
R2 |
|
В |
|
|
1/ С |
||||
|
|
|
|
R22 |
(1/ С)2 |
R22 (1/ С)2 |
||||||||||
|
R1 |
|
R2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Y Y |
1 Y 2 |
|
|
|
|
|
|||||
G1 G2 j(B1 B2 ) G jB
|
L |
|
|
|
1/ C |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим случай –jB1 + jB2 = 0 |
|||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
R1 ( L) |
|
|
|
R1 (1/ C) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
R12 |
|
|
|
2 |
R12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Равенство выполняется |
|
P |
|
|
|
|
0 |
|
; |
L |
|
||||||||||||||||||
на частоте резонанса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
R22 |
2 |
R22 |
C |
|
||||||||||||||||||||
|
LC |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 R2 |
|
|
|
2 R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
L |
|
||||||
|
P |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 R22 |
2 R22 |
C |
|
|||||||||||
|
LC |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие резонанса
R1 < , R2 < или R1 > , R2 >
Реактивные составляющие токов при резонансе равны друг другу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IP1 U B1 IP2 U B2 U |
|
|
L |
U |
1/ C |
|||||||
|
|
R2 |
( L)2 |
R2 (1/ C)2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R0Э – эквивалентное |
||||
Ток в неразветвленной |
I0 |
U G0Э |
U |
|
|
|||||||||
|
|
резонансное |
||||||||||||
|
части цепи |
R0Э |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
сопротивление контура |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Режим работы участка цепи с параллельными ветвями, при котором ток в
неразветвленной части и напряжение на выводах контура совпадают по фазе называется резонансом токов
При этом эквивалентное резонансное сопротивление параллельного контура
R0Э 2 R1R2
R1 R2
Наибольший теоретический и практический интерес представляют резонанс токов в контурах без потерь (R1 = R2 = 0) и с малыми потерями (R1 << , R2 << )
Контур без потерь (R1 = R2 = 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р 0 |
|
1 |
|
|
|
|
Уравнение резонансной частоты |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
LC |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
Эквивалентное сопротивление контура без потерь R0Э = и входной ток |
|||||||
равен нулю, а добротность обращается в бесконечность. |
|
|
|
|
|
|
|
Комплексные действующие значения токов в ветвях контура: |
|
|
|
|
|||
|
|
U |
U |
j |
|
||
|
|
||||||
I1 |
|
|
|
|
e 2 |
||
j 0 L |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
U |
j |
|
|
|
||||
I 2 |
Uj 0C |
|
e 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контур с малыми потерями (R1 << , R2 << ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||
|
Р 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условии |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
Q |
R |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
Э |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
R1 R2 |
R |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
U e j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Токи в |
|
|
I0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
2 |
|
|
I |
2 Uj 0C U e j 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
R0Э |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 0 L |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
контуре |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
I |
|
|
|
|
U /(Q2 R ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда и название |
|||||||||||
|
U |
|
|
|
U |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
I1 I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
резонанс токов |
|||||||||||
|
|
QR |
|
|
|
|
I |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
U /(Q R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частотные характеристики параллельного контура |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Контур без потерь (R1 = R2 = 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Частотные зависимости |
|
|
|
|
|
BL ( ) 1 |
|
, BC ( ) C |
|
|
|
|
||||||
параметров контура |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеют вид |
|
|
|
|
|
B( ) ( 1 |
C), Х ( ) |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В,Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
B( ) |
||
|
В ( |
) |
|
Контур с малыми потерями (R << , R << ) |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||
I( |
) |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В,Х |
|
|
|
|
|
|
|
|||
X( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
В( |
) |
|
|
|
R0Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ZЭ |
1 j |
2 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
В ( |
) |
|
|
|
|
|
R |
|
|
R0Э |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
Z( ) |
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|
1 |
2 |
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
X( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Х( ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ток при резонансе min |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
L |
|
|
I( j ) |
|
U |
(1 j ) I0 |
(1 j ) |
Х0Э |
R0Э |
|
||||||||
|
|
R0Э |
1 |
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||