- •Кубанский государственный технологический университет
- •Учебные вопросы:
- •1. Несинусоидальные воздействия в электрических цепях. Методы анализа
- •1.2 Непериодические воздействия
- •Прямое и обратное преобразования Фурье
- •Свойства сигналов и их спектров
- •2. Спектры типовых сигналов
- •Спектр постоянной составляющей
- •Спектр последовательности прямоугольных импульсов
- •Амплитудно-частотный спектр такой последовательности импульсов
- •Спектр одиночного прямоугольного импульса
- •Вид графика спектральной плотности
- •Задание на самостоятельную работу
Кубанский государственный технологический университет
Институт информационных технологий и безопасности
Кафедра компьютерных технологий и информационной безопасности
Учебная дисциплина
Электротехника и электроника
Лекция № 9
Спектральный метод анализа электрических цепей
Учебные вопросы:
1. Несинусоидальные колебания в электрических
цепях. Методы анализа.
2. Спектры типовых сигналов
Литература:
1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы теории цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 234 – 249
2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 103 – 117.
3.Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, - М.: Высшая школа, 2003 г, с. 37 –83.
4.Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов, Под ред. Самойло К.А.- М.: Высшая школа, 2002 г, с. 41 – 65.
1. Несинусоидальные воздействия в электрических цепях. Методы анализа
В основе методов анализа и синтеза электрических цепей, находящихся под воздействием периодических несинусоидальных и непериодических токов и напряжений лежит спектральное представление несинусоидальных воздействий, базирующееся на разложении в ряд или интеграл Фурье.
1.1 Периодические воздействия
Из курса математического анализа известно, что всякая периодическая функция f(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (если функция f(t) на периоде Т имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, что для реальных электрических сигналов обычно выполняется сигналов), то она может быть разложена в ряд Фурье:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) a0 |
|
|
|
sin(k t) |
2 |
|
|
||||
|
|
|
ak |
cos(k t) bk |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
ak |
f (t) cos(k t)dt |
|
разложения |
|
bk |
f (t) sin(k t)dt |
||||||||
T |
|
|
T |
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
a0 1 T f (t)dt
2 T 0
Представляет собой среднее за период значение f(t)
(функция f(t) может иметь смысл как тока, так и напряжения) и называется постоянной составляющей.
Таким образом, ряд Фурье показывает, что любая периодическая функция f(t) может быть разложена на постоянную составляющую а0/2 и
совокупность гармонических колебаний составляющих гармоник Аmk с
кратными частотами: |
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
Amk cos(k t k ), |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Амплитуда k-й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
b |
A |
sin |
|
|||||||||||
|
|
|
|
ak Amk cos k |
|
|
||||||||||||||
mk |
|
k |
k |
|
|
гармоники |
|
|
|
|
k |
mk |
|
|
k |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k arctg |
bk |
|
Начальная фаза k-й |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
гармоники |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В задачах анализа |
цепей при |
периодических воздействиях удобно |
пользоваться комплексным рядом Фурье. Такой ряд
получится, если временную функцию n-й гармоники записать,
используя формулу Эйлера, в виде суммы показательных
функций:
(t) ak cos(k t) bk sin(k t)
|
|
Введя обозначения – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e j k |
|
|
|
|
а0 |
||||||||||||||
|
комплексные амплитуды |
|
|
Amk Amk e j k |
|
|
Am k Am k |
|
|
А0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
f (t) |
|
|
1 Amk e jk t |
Am k e jk t 1 Amk e jk t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 k 1 |
|
|
|
2 k 1 |
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Коэффициенты |
|
|
|
|
2 |
T |
|
2 |
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
комплексного ряда |
|
Amk |
f (t) e |
jk t dt |
|
|
f (t) e jk t dt |
|||||||||||||||||||||||
|
T |
T |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
T |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
A A(k ) |
Амплитудный |
СПЕКТРЫ |
|
|
|
|
k |
|
(k ) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
mk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фазовый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
u(t) 2 10sin( t 40 ) 5sin(3 t |
60 ) 3sin(5 t 80 ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Ак |
10 |
|
Амплитудный |
|
|
|
|
|
к |
40º |
|
|
|
|
|
|
|
80 º |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
дискретный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(линейчатый) спектр |
|
|
0 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фазовый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дискретный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
2 |
|
3 4 5 |
|
|
(линейчатый) спектр -60º |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2 Непериодические воздействия
Для непериодических сигналов используются спектральные представления, базирующееся на паре преобразований Фурье.
f(t) |
|
||
|
|||
|
f (t) f (t) |
|
dt |
|
|
||
|
|
Т |
|
0 t1 |
|
Т t2 |
|
|
Т |
|
Т |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
jk t |
|
2 |
T 2 |
jk t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f1 (t) 2 k Amk e |
|
, Amk |
|
f (t) e |
|
dt; T |
|
|
|||
|
T |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
T |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2 |
|
|
||
|
1 |
|
|
1 d |
|||
f1 (t) |
e jk 1t 1 |
|
f (t) e jk 1t dt |
|
|||
|
|
|
k |
||||
|
2 k |
|
T |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
1 |
|
1 |
T 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
f (t) lim |
f |
(t) |
2 |
|
T |
|
e j t d |
f (t) e jk t dt |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Преобразование Фурье |
|
||||
F( j ) |
f (t) e j t dt |
f (t) |
F( j ) e j t d |
||||
|
|
2 |
|||||
|
|
Прямое |
Обратное |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
Прямое и обратное преобразования Фурье
составляют основу спектрального анализа сигналов
Спектральную плотность можно представить в показательной форме
F( j ) F( j ) e j ( ) F( ) e j ( )
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль спектральной плотности |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F( ) |
A2 ( ) B2 ( ) |
|
|
|||||||
|
|
|
определяет |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
амплитудный спектр сигнала |
|||
|
|
|
|
|
Аргумент |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
B( ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
спектральной |
|
||
|
A( ) f (t)cos tdt |
|
B( ) f (t)sin tdt |
( ) arctg A( ) |
|||||||
|
|
плотности определяет |
|||||||||
|
|
|
|
|
фазовый спектр |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид модуля F( )=|F(j | позволяет судить о распределении энергии в
спектре непериодического сигнала, определяемом равенством Парсеваля (теоремой Рэлея)
|
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
f 2 (t)dt |
F ( j ) |
|
d |
F ( j ) |
|
d |
|||||
|
|
||||||||||
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
В отличии от линейчатого (дискретного) спектра периодических сигналов спектр непериодического сигнала носит сплошной характер (т.к. разность между соседними частотными составляющими равная d бесконечно мала)
u(t) Um |
|
|
|
2Um cos Ct |
2Um cos 3 Ct |
2Um sin( k ) cos k Ct Um |
|||||
q |
k 1 k |
2 |
2 |
|
3 |
|
u(t) |
T |
|
|
|
|
|
Um |
|
q T |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
-T/2 |
0 |
T/2 |
|
|
t |
|
Третья гармоника |
||||
|
|
Первая гармоника |
|
-T/2 |
0 |
|
t |
|
u(t) |
T/2 |
|||
|
||||
|
|
|
-T/2 |
0 |
t |
T/2 |
Свойства сигналов и их спектров
Для сигналов f(t) и их спектров F(j ) справедлив ряд свойств:
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ak |
fk (t) ak Fk ( j ) |
|
|
|
|
|
свойство линейности |
|||||||||||||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
f (t) j F ( j ) |
|
|
|
|
|
|
дифференцирования сигнала |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
f (t)dt |
|
1 |
|
F ( j |
) |
|
|
|
|
|
|
интегрирование сигнала |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
смещение сигнала по |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (t ) F ( j ) e |
j |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
времени на |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
спектров (теорема свертки) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножение |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
F1( j )F2 ( j ) |
|
f1( ) f2 (t )dt f1(t ) f2 ( )dt |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ширина спектра сигнала |
|
||||
|
|
f (at) 1 |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
F ( |
) |
|
|
увеличивается при сжатии сигнала во |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
времени (уменьшении длительности сигнала) и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наоборот, уменьшается при растяжении |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
масштаба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сигнала во времени. |
2. Спектры типовых сигналов
Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательности прямоугольных импульсов и т.п. Особо важную роль в теоретических исследованиях играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции (t) – функции Дирака
u(t)
1
Обобщенное
преобразование
Фурье
Спектр
единичной
функции
|
Единичная функция |
|
|
|
|
u(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(t) = |
1, при t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
0, при t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F( j ,c) 1(t) e ct e j t dt 1(t) e (c j )t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
c j |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F( j ) lim F( j ,c) lim |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
e |
|
j |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
c j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
c |
c 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(j ) |
|
(j ) |
Фазовый |
Амплитудный |
|
спектр |
|
|
|
||
0 |
|
|
|
спектр |
|
- /2
Единичная импульсная функция
|
|
|
|
|
Эта |
функция |
является нереализуемой |
|||||||
|
0, при t 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
(t)= , при t 0 |
|
|
математической |
абстракцией, |
однако |
||||||||
|
|
|
обладает рядом интересных свойств и играет |
|||||||||||
|
0, при t 0 |
|
|
важную роль в теоретических исследованиях. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фильтрующее свойство (t) функции |
|
f (t) (t t0 )dt f (t0 ) |
|||||||||||
|
Спектр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дельта |
|
|
|
|
|
j t |
|
|
|
|
j 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
функции |
|
F( j ) (t) e |
|
dt (t) cos tdt j (t)sin tdt 1e |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) функция имеет равномерный амплитудный и нулевой фазовый спектры