Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
(1-й сем) / ТГВ-Л№9.ppt
Скачиваний:
46
Добавлен:
22.05.2015
Размер:
504.83 Кб
Скачать

Кубанский государственный технологический университет

Институт информационных технологий и безопасности

Кафедра компьютерных технологий и информационной безопасности

Учебная дисциплина

Электротехника и электроника

Лекция № 9

Спектральный метод анализа электрических цепей

Учебные вопросы:

1. Несинусоидальные колебания в электрических

цепях. Методы анализа.

2. Спектры типовых сигналов

Литература:

1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы теории цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 234 – 249

2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 103 – 117.

3.Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов, - М.: Высшая школа, 2003 г, с. 37 –83.

4.Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов, Под ред. Самойло К.А.- М.: Высшая школа, 2002 г, с. 41 – 65.

1. Несинусоидальные воздействия в электрических цепях. Методы анализа

В основе методов анализа и синтеза электрических цепей, находящихся под воздействием периодических несинусоидальных и непериодических токов и напряжений лежит спектральное представление несинусоидальных воздействий, базирующееся на разложении в ряд или интеграл Фурье.

1.1 Периодические воздействия

Из курса математического анализа известно, что всякая периодическая функция f(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (если функция f(t) на периоде Т имеет конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, что для реальных электрических сигналов обычно выполняется сигналов), то она может быть разложена в ряд Фурье:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) a0

 

 

 

sin(k t)

2

 

 

 

 

 

ak

cos(k t) bk

 

 

 

 

 

 

2

k 1

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты

 

 

T

 

 

 

 

 

 

2

T

 

 

 

2

 

 

 

ak

f (t) cos(k t)dt

 

разложения

 

bk

f (t) sin(k t)dt

T

 

 

T

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

a0 1 T f (t)dt

2 T 0

Представляет собой среднее за период значение f(t)

(функция f(t) может иметь смысл как тока, так и напряжения) и называется постоянной составляющей.

Таким образом, ряд Фурье показывает, что любая периодическая функция f(t) может быть разложена на постоянную составляющую а0/2 и

совокупность гармонических колебаний составляющих гармоник Аmk с

кратными частотами:

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t)

 

Amk cos(k t k ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Амплитуда k-й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

a2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

A

sin

 

 

 

 

 

ak Amk cos k

 

 

mk

 

k

k

 

 

гармоники

 

 

 

 

k

mk

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k arctg

bk

 

Начальная фаза k-й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ak

 

 

гармоники

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В задачах анализа

цепей при

периодических воздействиях удобно

пользоваться комплексным рядом Фурье. Такой ряд

получится, если временную функцию n-й гармоники записать,

используя формулу Эйлера, в виде суммы показательных

функций:

(t) ak cos(k t) bk sin(k t)

 

 

Введя обозначения –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e j k

 

 

 

 

а0

 

комплексные амплитуды

 

 

Amk Amk e j k

 

 

Am k Am k

 

 

А0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t)

 

 

1 Amk e jk t

Am k e jk t 1 Amk e jk t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 k 1

 

 

 

2 k 1

2 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты

 

 

 

 

2

T

 

2

 

T 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

комплексного ряда

 

Amk

f (t) e

jk t dt

 

 

f (t) e jk t dt

 

T

T

 

 

 

 

Фурье

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

T

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A A(k )

Амплитудный

СПЕКТРЫ

 

 

 

 

k

 

(k )

 

 

 

mk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фазовый

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(t) 2 10sin( t 40 ) 5sin(3 t

60 ) 3sin(5 t 80 )

 

Ак

10

 

Амплитудный

 

 

 

 

 

к

40º

 

 

 

 

 

 

 

80 º

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дискретный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(линейчатый) спектр

 

 

0

 

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фазовый

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дискретный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

 

3 4 5

 

 

(линейчатый) спектр -60º

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Непериодические воздействия

Для непериодических сигналов используются спектральные представления, базирующееся на паре преобразований Фурье.

f(t)

 

 

 

f (t) f (t)

 

dt

 

 

 

 

Т

 

0 t1

 

Т t2

 

 

Т

 

Т

 

t

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

jk t

 

2

T 2

jk t

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

f1 (t) 2 k Amk e

 

, Amk

 

f (t) e

 

dt; T

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T 2

 

 

 

1

 

 

1 d

f1 (t)

e jk 1t 1

 

f (t) e jk 1t dt

 

 

 

 

k

 

2 k

 

T

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

T

1

 

1

T 2

 

 

 

 

 

 

 

f (t) lim

f

(t)

2

 

T

 

e j t d

f (t) e jk t dt

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Преобразование Фурье

 

F( j )

f (t) e j t dt

f (t)

F( j ) e j t d

 

 

2

 

 

Прямое

Обратное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямое и обратное преобразования Фурье

составляют основу спектрального анализа сигналов

Спектральную плотность можно представить в показательной форме

F( j ) F( j ) e j ( ) F( ) e j ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль спектральной плотности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F( )

A2 ( ) B2 ( )

 

 

 

 

 

определяет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

амплитудный спектр сигнала

 

 

 

 

 

Аргумент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

спектральной

 

 

A( ) f (t)cos tdt

 

B( ) f (t)sin tdt

( ) arctg A( )

 

 

плотности определяет

 

 

 

 

 

фазовый спектр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вид модуля F( )=|F(j | позволяет судить о распределении энергии в

спектре непериодического сигнала, определяемом равенством Парсеваля (теоремой Рэлея)

 

1

 

2

1

 

2

 

 

 

 

 

 

f 2 (t)dt

F ( j )

 

d

F ( j )

 

d

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

В отличии от линейчатого (дискретного) спектра периодических сигналов спектр непериодического сигнала носит сплошной характер (т.к. разность между соседними частотными составляющими равная d бесконечно мала)

u(t) Um

 

 

 

2Um cos Ct

2Um cos 3 Ct

2Um sin( k ) cos k Ct Um

q

k 1 k

2

2

 

3

 

u(t)

T

 

 

 

 

 

Um

 

q T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-T/2

0

T/2

 

 

t

 

Третья гармоника

 

 

Первая гармоника

 

-T/2

0

 

t

u(t)

T/2

 

 

 

 

-T/2

0

t

T/2

Свойства сигналов и их спектров

Для сигналов f(t) и их спектров F(j ) справедлив ряд свойств:

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ak

fk (t) ak Fk ( j )

 

 

 

 

 

свойство линейности

 

 

k 1

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

f (t) j F ( j )

 

 

 

 

 

 

дифференцирования сигнала

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t)dt

 

1

 

F ( j

)

 

 

 

 

 

 

интегрирование сигнала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

смещение сигнала по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t ) F ( j ) e

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

времени на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

спектров (теорема свертки)

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1( j )F2 ( j )

 

f1( ) f2 (t )dt f1(t ) f2 ( )dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ширина спектра сигнала

 

 

 

f (at) 1

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (

)

 

 

увеличивается при сжатии сигнала во

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

времени (уменьшении длительности сигнала) и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наоборот, уменьшается при растяжении

 

 

 

 

 

 

 

 

Изменение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

масштаба

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сигнала во времени.

2. Спектры типовых сигналов

Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используются различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательности прямоугольных импульсов и т.п. Особо важную роль в теоретических исследованиях играют испытательные сигналы в форме единичной функции 1(t) и единичной импульсной функции (t) – функции Дирака

u(t)

1

Обобщенное

преобразование

Фурье

Спектр

единичной

функции

 

Единичная функция

 

 

 

 

u(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1(t) =

1, при t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

0, при t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

F( j ,c) 1(t) e ct e j t dt 1(t) e (c j )t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F( j ) lim F( j ,c) lim

1

 

 

1

 

 

1

e

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

c j

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

c 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(j )

 

(j )

Фазовый

Амплитудный

 

спектр

 

 

0

 

 

спектр

 

- /2

Единичная импульсная функция

 

 

 

 

 

Эта

функция

является нереализуемой

 

0, при t 0

 

 

 

 

 

(t)= , при t 0

 

 

математической

абстракцией,

однако

 

 

 

обладает рядом интересных свойств и играет

 

0, при t 0

 

 

важную роль в теоретических исследованиях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фильтрующее свойство (t) функции

 

f (t) (t t0 )dt f (t0 )

 

Спектр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дельта

 

 

 

 

 

j t

 

 

 

 

j 0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции

 

F( j ) (t) e

 

dt (t) cos tdt j (t)sin tdt 1e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t) функция имеет равномерный амплитудный и нулевой фазовый спектры

Соседние файлы в папке (1-й сем)