Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
34
Добавлен:
22.05.2015
Размер:
865.79 Кб
Скачать

1.7. Частотные характеристики системы

Если на вход линейной устойчивой системы длительно действует гармонически изменяющаяся сила, то после затухания переходных процессов на выходе установятся гармонические колебания с такой же частотой (рисунок 1.13). Однако амплитуда и начальная фаза их будут зависеть от динамических свойств системы. Запишем уравнение, связывающее входные и выходные величины:

. (1.38)

Рисунок 1.13 – Входной и выходной гармонические сигналы

Гармоническим сигналом называется сигнал вида

(1.39)

или в комплексной форме

. (1.40)

Частным случаем такого сигнала являются сигналы

; (1.41)

. (1.42)

Выражение (1.41) соответствует случаю, когда , а выражение (1.42) – случаю, когда .

Пусть входной сигнал имеет фиксированную частоту. На комплексной плоскости этот сигнал изобразится в виде вектора с амплитудой , вращающегося против часовой стрелки вокруг начала координат с частотой . Тогда на выходе получим гармонический сигнал. Для удобства рассмотрения пусть при фаза входного сигнала . Выходной сигнал тогда может быть представлен на комплексной плоскости в виде вектора с амплитудой , сдвинутого на угол относительно вектора входного сигнала, и вращающегося относительно начала координат с той же частотой

. (1.43)

Подставим выражения (1.39) и (1.43) в выражение (1.38) при , получим

. (1.44)

откуда

(1.45)

Функция (1.45) называется комплексным коэффициентом усиле­ния (при частоте ). Формально комплексный коэффициент усиле­ния получается из передаточной функции при подстановке и является отношением выходного гармонического сигнала к входному гармоническому сигналу.

В вышеприведенных выражениях и - функции частоты при неизменной амплитуде входного сигнала. Каждой фиксированной частоте входного гармонического сигнала будут соответствовать определенные значения амплитуды выходного сигнала и сдвига фазы.

Комплексную функцию действи­тельного переменного можно представить в виде

, (1.46)

где

. (1.47)

При каждом фиксированном со значение однозначно определяет (рисунок 1.14) точку на комплексной плоскости с декарто­выми координатами , или поляр­ными координатами , .

Рисунок 1.14 – Графическое представление функции

Следователь­но, можно записать формулы перехода от полярных координат к декартовым, и наоборот:

. (1.48)

Зависимости , , , (рисунок 1.15, а – г) назы­ваются частотными характеристиками системы – амплитудной, фа­зовой, вещественной и мнимой соответственно.

Рисунок 1.15 – Частотные характеристики системы

Вектор-годограф , построенный на комплексной плоскости (рисунок 1.16) при изменении частоты от до , называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой системы.

Комплексный коэффициент усиления и частотные характеристики являются важными характеристиками звена и системы, позволяющими исследовать устойчивость и характер протекания пере­ходных процессов. Зная величину , можно определить реак­цию линейной системы не только на синусоидальный входной сигнал, но и на любую другую внешнюю силу, представленную в виде интеграла Фурье, т.е. в виде бесконечной суммы синусоидальных колебаний всех частот. Зная, как про­ходит каждое из этих колебаний через систему, и складывая их на выходе, мож­но получить значение выходной величи­ны .

Рисунок 1.16 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Частотные характеристики элементов системы и всей системы могут быть по­лучены экспериментально с помощью гене­ратора синусоидальных колебаний и соот­ветствующей измерительной аппаратуры для измерения частоты, амплитуды и фазы колебаний. Полученные эксперименталь­ные частотные характеристики являются одной из форм задания математической модели системы, которая может непосредственно использоваться в расчетах устойчивости и пере­ходных процессов.