
- •1.3. Передаточная функция системы элементарных звеньев
- •1.4. Структурные схемы с обратной связью
- •1.5. Преобразования структурных схем
- •1.6. Пример преобразования структурной схемы
- •1.7. Частотные характеристики системы
- •1.8. Анализ устойчивости систем автоматического регулирования
- •1.9. Алгебраические критерии устойчивости
- •1.10. Частотные критерии
1.7. Частотные характеристики системы
Если на вход линейной устойчивой системы длительно действует гармонически изменяющаяся сила, то после затухания переходных процессов на выходе установятся гармонические колебания с такой же частотой (рисунок 1.13). Однако амплитуда и начальная фаза их будут зависеть от динамических свойств системы. Запишем уравнение, связывающее входные и выходные величины:
.
(1.38)
Рисунок 1.13 – Входной и выходной гармонические сигналы
Гармоническим сигналом
называется сигнал
вида
(1.39)
или в комплексной форме
.
(1.40)
Частным случаем такого сигнала являются сигналы
;
(1.41)
.
(1.42)
Выражение (1.41) соответствует
случаю, когда
,
а выражение (1.42) – случаю, когда
.
Пусть входной сигнал имеет
фиксированную частоту. На комплексной
плоскости этот сигнал изобразится в
виде вектора с амплитудой
,
вращающегося против часовой стрелки
вокруг начала координат с частотой
.
Тогда на выходе получим гармонический
сигнал. Для удобства рассмотрения пусть
при
фаза входного сигнала
.
Выходной сигнал тогда может быть
представлен на комплексной плоскости
в виде вектора с амплитудой
,
сдвинутого на угол
относительно вектора входного сигнала,
и вращающегося относительно начала
координат с той же частотой
.
(1.43)
Подставим выражения (1.39) и
(1.43) в выражение (1.38) при
,
получим
.
(1.44)
откуда
(1.45)
Функция (1.45) называется
комплексным коэффициентом усиления
(при частоте
).
Формально комплексный коэффициент
усиления получается из передаточной
функции
при подстановке
и является отношением выходного
гармонического сигнала к входному
гармоническому сигналу.
В вышеприведенных выражениях
и
- функции частоты при неизменной амплитуде
входного сигнала. Каждой фиксированной
частоте входного гармонического сигнала
будут соответствовать определенные
значения амплитуды выходного сигнала
и сдвига фазы.
Комплексную функцию
действительного переменного
можно представить в виде
,
(1.46)
где
.
(1.47)
При каждом фиксированном
со значение
однозначно определяет (рисунок 1.14) точку
на комплексной плоскости с декартовыми
координатами
,
или полярными координатами
,
.
Рисунок 1.14 – Графическое
представление функции
Следовательно, можно записать формулы перехода от полярных координат к декартовым, и наоборот:
.
(1.48)
Зависимости
,
,
,
(рисунок 1.15, а – г) называются частотными
характеристиками системы – амплитудной,
фазовой, вещественной и мнимой
соответственно.
Рисунок 1.15 – Частотные характеристики системы
Вектор-годограф
,
построенный на комплексной плоскости
(рисунок 1.16) при изменении частоты от
до
,
называется амплитудно-фазовой частотной
характеристикой системы.
Комплексный коэффициент
усиления и частотные характеристики
являются важными характеристиками
звена и системы, позволяющими исследовать
устойчивость и характер протекания
переходных процессов. Зная величину
,
можно определить реакцию линейной
системы не только на синусоидальный
входной сигнал, но и на любую другую
внешнюю силу, представленную в виде
интеграла Фурье, т.е. в виде бесконечной
суммы синусоидальных колебаний всех
частот. Зная, как проходит каждое из
этих колебаний через систему, и складывая
их на выходе, можно получить значение
выходной величины
.
Рисунок 1.16 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика
Частотные характеристики элементов системы и всей системы могут быть получены экспериментально с помощью генератора синусоидальных колебаний и соответствующей измерительной аппаратуры для измерения частоты, амплитуды и фазы колебаний. Полученные экспериментальные частотные характеристики являются одной из форм задания математической модели системы, которая может непосредственно использоваться в расчетах устойчивости и переходных процессов.