Задачки по сопромату / РУК9
.DOCТаблица 1.1
Название, автор |
Критерий прочн. |
Эквивалентноенапряжение |
Область примен. |
Гипотеза наибольших нормальных напряжений, Галилей, XVII в. |
max |
Не рекомеду-ется |
|
Гипотеза наибольших линейных деформаций Мариотт, 1682 г. |
max |
||
Гипотеза наибольших касательных напряжений, Кулон, 1773 г. |
max |
Для пластичных матриалов, у которых тр = тс |
|
Гипотеза энергии формоизменения, Губер, 1904 г. |
uф |
||
Гипотеза О.Мора, Мор, 1882 г. |
n=f(n) |
|
Для пластичных и хрупких материалов |
После определения эквивалентного напряжения условие прочности представляется в виде одного из следующих неравенств:
экв р пред.р/П (1.27)
или П = пред.р/экв П, (1.28)
где пред.р – предельное напряжение материала на растяжение, равное пределу текучести тр для пластичных материалов или пределу прочности пчр для хрупких материалов; П и [П] – фактический и нормативный коэффициенты запаса прочности.
Пример 1.10. Проверить прочность конструкции, если в опасной точке имеет место указанное на рисунке напряженное состояние. Дано: |
Рис. 1.18 |
пчр = 150 МПа, пчс = 600 МПа, [П] = 5.
Решение
1. Определение главных напряжений. Напряженное состояние в точке является плоским, поэтому
,
откуда max = 10 МПа, min = -60 МПа. Следовательно, величины главных напряжений равны 1 = 10 МПа, 2 = 0, 3 = -60 МПа.
2. Проверка прочности конструкции. Здесь возможны два подхода
экв р пчр/П
или П = пчр/экв П.
Эквивалентное напряжение вычисляем по гипотезе О.Мора, так как материал хрупкий и неодинаково работает на растяжение и сжатие:
МПа.
Допускаемое напряжение [р] = пчр/[П] = 150/5 = 30 МПа.
Следуя первому подходу, сравниваем и [р]. Так как = 25 МПа [р] = 30 МПа, то прочность конструкции обеспечена.
Согласно второму подходу находим фактический коэффициент запаса прочности П = пчр/ = 150/25 = 6.
Как видим, П = 6 [П] = 5, т.е. прочность конструкции обеспечена.
Пример 1.11. Какое из трех приведенных напряженных состояний является более опасным? Дано: тр = тс.
Рис. 1.19 |
Решение. Для сравнения напряженных состояний находим эквивалентные напряжения. Материал является пластичным и одинаково работает на растяжение и сжатие, поэтому воспользуемся 3-й гипотезой прочности.
Точка 1. Напряженное состояние является объемным, причем одно из главных напряжений уже известно. Для определения двух других главных напряжений воспользуемся формулами для плоского напряженного состояния. Имеем
max = 20 МПа, min = -30 МПа.
Следовательно, 1 = 20 МПа, 2 = -30 МПа, 3 = -60 МПа.
Эквивалентное напряжение
.
Точка 2. Напряженное состояние является чистым сдвигом, поэтому 1 = = 35 МПа, 2 = 0, 3 = - = -35 МПа.
Эквивалентное напряжение
.
Точка 3. Напряженное состояние является линейным (одноосное сжатие), поэтому 1 = 2 = 0, 3 = -75 МПа.
Эквивалентное напряжение
.
Так как , то наиболее опасным является напряженное состояние в точке 1.
2. КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ ВАЛОВ
2.1. Краткие сведения из теории
Кручением называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент, обозначаемый МК или МZ.
Теория кручения круглых валов основана на 2-х гипотезах.
1. В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.
2. Поперечные сечения поворачиваются без искривления радиусов, оставаясь плоскими.
Рис. 2.1 |
Согласно 1-й гипотезе бесконечно малый элемент mnpq испытывает чистый сдвиг, поэтому G. (a)
С другой стороны, из чертежа (рис. 4.1,б)
dz = d, откуда = d/dz = , (б)
где = d/dz – относительный угол закручивания.
Следовательно, = G. (в)
Рис. 2.2 |
По определению крутящего момента или с учетом (в) , (г) где - полярный момент инерции. Вычисляя из (г) и подставляя его в (в), получим закон распределения касательных напряжений в поперечном сечении (рис. 2.3) (МК/Ip) (2.1) |
Рис. 2.3 |
Отсюда max = (MK/Ip)max = MK/Wp, (2.2) где Wp = Ip/max – полярный момент сопротивления. Геометрические характеристики: dA = 2d, - полый вал , |
(2.3)
Рис. 2.4 |
- тонкостенная труба (tdн, 0,9) , ; - сплошной вал (dв = 0, dн = d) (2.4) |
Угол закручивания:
- относительный = d/dz = MK/(GIp), (2.5)
- абсолютный , (2.6)
в частности, при МК = const . (2.7)
Расчет валов сводится к одновременному удовлетворению двух условий:
- условия прочности max ,
, откуда ; (2.8)
- условия жесткости max ,
, откуда . (2.9)
Окончательно принимается большее из найденных значений
d = maxdпч, dж.
Допускаемые величины:
-
касательное напряжение
-
относительный угол закручивания
[] = 4,38…17,5 мрад/м (0,25…1,0 град/м).
Рис. 2.5 |
Главные напряжения: 1 = + , 2 = 0, 3 = - , 1,3 = 45. Потенциальная энергия упругой деформации |
. (2.10)
Зависимость скручивающего момента от мощности. Обычно нагрузка на вал определяется мощностью машины. Если мощность Р задана в Вт, а угловая скорость в рад/с, то М = Р/ Нм.
Если мощность N выражена в лошадиных силах (л.с.), а угловая скорость П в об/мин, тогда М = 7162N/П Нм.
2.2. Примеры расчета
Пример 2.1. Построить эпюры крутящего момента МК и угла закручивания для вала, приведенного на рис. 2.6, считая левый конец неподвижным.
Решение Эпюра МК. На вал не действует распределенная нагрузка (m = 0), поэтому эпюра МК состоит из отрезков прямых, параллельных оси абсцисс. В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие пары, на эпюре МК наблюда- |
Рис. 2.6 |
ются скачки, равные приложенным моментам. Вычисляем моменты по участкам МDE = М, МCD = МDE –3М = = -2М, MBC = MCD + 4M = 2M, MAB = MBC –3M = -M и строим эпюру МК (рис. 2.6,б).
Эпюра . Угол закручивания изменяется по линейному закону = 0 + МKz/(GIp), поэтому для построения эпюры вычисляем углы поворота на границах участков, начиная от неподвижного сечения А: А = 0,
В = А + МАВQ/(GIp) = -Ma/(GIp),
C = B + МBCQ/GIp = Ma/(GIp),
D = C + МCD2a/(GIp) = -3Ma/(GIp),
E = D + МDEQ/(GIp) = = -2Ma/GIp,
и соединяем их отрезками прямых (см. рис. 2.6).
Пример 2.2. Определить величины и указать направления касательных напряжений, возникающих в точках А, В, С. Дано: xA = 3 см, yA = 4 см, xB = -1,5 см, yB = 2 см, xC = 0, yC = -10 см. |
Рис. 2.7 |
Решение. Напряжение в произвольной точке равно = (MK/Ip).
Для точки А: ,
, Ip 0,1d4 = 0,1204 = 16000 см4,
A = (MK/Ip)A = (64103/1610310-8)510-2 = 20 МПа.
Для остальных точек студенту предлагается определить самостоятельно.