Компьютерное моделирование / Лаб_6

Лабораторная работа № 5 Метод наименьших квадратов.

1 Суть метода наименьших квадратов (МНК).

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов. Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.

Вывод формул для нахождения коэффициентов. Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю.

Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК).

При данных а и b функция принимает наименьшее значение. Формула для нахождения параметра a содержит суммы , , , и параметр n - количество экспериментальных данных. Коэффициент b находится после вычисления a.

2 Пример решения задачи. В результате эксперимента получены пять значений искомой функции y

х	–2	0	1	2	4
у	0,5	1	1,5	2	3

Найти функциональную зависимость вида y= aх + b

Решение.

Выполним необходимые по формулам вычисления и занесем их в таблицу:

Вспомогательная таблица

№	xi	yi		xi yi	y
1	-2,0	0,5	4,00	-1,00	0,325
2	0,0	1,0	0,00	0,00	1,175
3	1,0	1,5	1,00	1,50	1,6
4	2,0	2,0	4,00	4,00	2,025
5	4,0	3,0	16,00	12,00	2,875
сумма	5,0	8,0	25,0	16,5

Система для определения коэффициентов примет вид:

25a+5b=16,5

5a+5b=8

Решим ее методом Крамера

, отсюда a=0,425, b=1,175.

Следовательно, уравнение

y= 0,425х + 1,175 есть уравнение искомой прямой.

Графическая интерпретация приведена на рис

Рис. 1. Иллюстрация метода наименьших квадратов

В последнем столбце табл. 1 для сравнения с эмпирическими данными записаны значения функции y, вычисленные по формуле y=0,425х + 1,175,

Решение в Excel

1 Построить таблицу и заполнить столбцы В и С исходными данными

2 Заполнить столбцы D, F м строку 8 таблицы формулами

В результате получим таблицу

3 Решаем систему уравнений для определения параметров a и b функции y= aх + b матричным методом, используя функции МОБР и МУМНОЖ

4 В столбце F таблицы вычисляем значения функции y= aх + b

3. Задача для самостоятельного решения

Данные за последние 6 лет по транспортному парку о количестве автомобилей Y, потребовавших ремонт заданы таблицей:

Год xi	Число автомобилей в ремонте yi
2006	19
2007	21
2008	17
2009	14
2010	15
2011	9

Методом наименьших квадратов найти зависимость Y= aх + b количества автомобилей Y от х. Сколько автомобилей будет в ремонте в 2012 году?