Компьютерное моделирование / Лаб_7

Лабораторная работа № 7 Метод наименьших квадратов.

1 Суть метода наименьших квадратов (МНК).

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов. Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.

Вывод формул для нахождения коэффициентов. Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю.

Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера, в Excel эту систему удобнее решать методом обратной матрицы) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК).

При данных а и b функция принимает наименьшее значение. Формула для нахождения параметра a содержит суммы , , , и параметр n - количество экспериментальных данных. Коэффициент b находится после вычисления a.

2 Пример решения задачи. В результате эксперимента получены пять значений искомой функции y

х	–2	0	1	2	4
у	0,5	1	1,5	2	3

Найти функциональную зависимость вида y= aх + b. Каким возможно будет значение функции у при х=7.

Решение.

Выполним необходимые по формулам вычисления и занесем их в таблицу:

Вспомогательная таблица

№	xi	yi		xi yi	y
1	-2,0	0,5	4,00	-1,00	0,325
2	0,0	1,0	0,00	0,00	1,175
3	1,0	1,5	1,00	1,50	1,6
4	2,0	2,0	4,00	4,00	2,025
5	4,0	3,0	16,00	12,00	2,875
сумма	5,0	8,0	25,0	16,5

Система для определения коэффициентов примет вид:

25a+5b=16,5

5a+5b=8

Решим ее методом Крамера

, отсюда a=0,425, b=1,175.

Следовательно, уравнение

y= 0,425х + 1,175 есть уравнение искомой прямой.

Графическая интерпретация приведена на рис

Рис. 1. Иллюстрация метода наименьших квадратов

В последнем столбце табл. 1 для сравнения с эмпирическими данными записаны значения функции y, вычисленные по формуле y=0,425х + 1,175,

Значение у при х=7 получим подставляя число 7 в функцию y=0,425х + 1,175.

y=0,425*7 + 1,175=4,15

Решение в Excel

1. Построить таблицу и заполнить столбцы В и С исходными данными

2. Заполнить столбцы D, E и строку 8 таблицы формулами

В результате получим таблицу

3. Решаем систему уравнений для определения параметров a и b функции y= aх + b матричным методом, используя функции МОБР и МУМНОЖ

4. В столбце F таблицы вычисляем значения функции y= aх + b

5. Находим значение у при х=7. Для этого в столбце F вычисляем значения у. В ячейку F3 вводим формулу =a*B3+b и копируем ее до F7

В ячейке F8 вычислим значение у при х=7 по формуле =a*7+b.

В результате получим таблицу:

6. Строим графики

3. Задача для самостоятельного решения

Имеются данные за последние 7 месяцев по транспортному предприятию о количестве перевезенного груза Y(тыс. т):

Месяц xi	Количество перевезенного груза, yi
январь	3,2
февраль	2,9
март	37
апрель	4,1
май	4,5
июнь	3,9
июль	4,6

Методом наименьших квадратов найти зависимость Y= aх + b перевезенного груза Y от х. Каким возможно будет количество перевезенного груза в августе?

Построить графики фактической зависимости и рассчитанной по модели Y= aх + b. На графике показать количество перевезенного груза в августе.