Компьютерное моделирование / Лаб_4

Лабораторная работа 4. Решение смешанных задач

1 Модели (целевая функция и ограничения) смешанных задач

Наиболее частая задача линейного программирования, задается моделью:

- целевая функция:

F(x) = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n → max (min)

- ограничения могут содержать неравенства различных видов (<, >, ≤, ≥) и равенства

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n ≤ b₁

a₂₁x₂ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n ≥ b₂

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m

x_i ≥ 0; i = 1÷n

b_j ≥ 0; j = 1÷m.

2 Постановка задачи, пример построения модели и решения в EXCEL.

Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем – не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах компонентов, их себестоимости, октановом числе и содержании серы приведены в таблице 1

Таблица 1 – Исходные данные

Характеристика	Компоненты бензина
	1 вид	2 вид	3 вид	4 вид
Октановое число	68	72	80	90
Содержание серы, %	0,35	0,35	0,3	0,2
Ресурсы	700	600	500	300
Себестоимость, ден. ед/т..	40	45	60	70

Сколько тонн каждого компонента надо использовать для получения 1000 т. автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной.

Построение математической модели задачи

Обозначим через Х₁, Х₂, Х₃, Х₄,– количества тонн компонентов 1, 2, 3 и 4 тогда целевая функция будет иметь вид:

F(Х) =40Х₁+45Х₂+60Х₃+70Х ₄ min,

ограничения по количеству

Х₁+Х₂+Х₃+Х₄=1000,

Х₁<=700

Х₂<=600

Х₃<=500

Х₄<=300

ограничения по содержанию серы и октановому числу

0,0035Х₁+0,0035Х₂+0,003Х₃+0,002Х ₄ <=3

68Х₁+72Х₂+80Х₃+90Х₄>=76 000

Окончательно модель примет вид

F(Х) =40Х₁+45Х₂+60Х₃+70Х ₄ min,

Х₁+Х₂+Х₃+Х₄=1000,

Х₁<=700

Х₂<=600

Х₃<=500

Х₄<=300

0,0035Х₁+0,0035Х₂+0,003Х₃+0,002Х ₄ <=3

68Х₁+72Х₂+80Х₃+90Х₄>=76 000

Х_i>=0

Решение задачи в Excel.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск решения. В нашей задаче оптимальные значения вектора Х=(Х1, Х2, Х3, Х4,) будут помещены в ячейках C5:F5, оптимальное значение целевой функции – в ячейке Н7.

Введем исходные данные как показано на рисунке 1

Рисунок 1 - Фрагмент исходного рабочего листа Excel

Сначала задаем в ячейке Н7 целевую функцию с помощью функции – =СУММПРОИЗВ(C4:F4;C5:F5). А потом ввели данные для левых частей ограничений. В ячейках вводим G9, G10 и т. д. G15формулы соответственно:

=СУММПРОИЗВ(C5:F5;C9:F9)

=СУММПРОИЗВ(C5:F5;C10:F10)

=СУММПРОИЗВ(C5:F5;C15:F15)

для вычисления левых частей ограничений

Вызываем Поиск решения и вводим направление целевой функции, адреса искомых переменных, добавим ограничения. На экране появилось диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями (рисунок 2).

Рисунок 2 - Диалоговое окно Поиск решения

Вводим ограничения и параметры поиска задачи (см. рисунок 3 и 4).

Рисунок 3 - Диалоговое окно «Добавление ограничений»

Рисунок 4 – Параметры поиска решения

После ввода параметров для решения ЗЛП следует нажать кнопку Выполнить. На экране появится сообщение, что решение найдено (рисунок 5 и 6).

Рисунок 6 - Решение найдено

Рисунок 6 - Решение задачи

Полученное решение означает, что оптимальная смесь состоит из 600 т. компонента 1 вида, 100 т. компонента 3 вида и 300 т. компонента 4 вида. Минимальная стоимость равна 51 000 ден. ед.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Задача о планировании производства.

Производственному участку может быть запланировано к изготовлению на определённый плановый период времени два вида изделий: A и B . На производство единицы изделия A оборудование первого типа используется 1час, оборудование второго типа - 4 часа. На производство единицы изделия B оборудование первого типа используется 2 часа, оборудование второго типа - 2 часа. Фонд полезного времени первого типа оборудования составляет 120 часов, второго типа оборудования -240 часов. Отпускная цена единицы изделия A составляет 4 руб., а изделия B - 6 руб. Спланировать выпуск изделий A и B при условии, что план должен быть выполнен в стоимостном выражении на сумму не менее 320 руб. и оборудование первого типа должно быть загружено минимально.

Решить задачу графическим методом и проверить решение в Excel.

2. Проектирование автомобиля.

Перед проектировщиком автомобиля поставлена задача сконструировать дешёвый кузов, используя листовой металл, стекло и пластмассу, стоимость которых соответственно составляет 25, 20, 40 р./м²; причём масса 1 м² листового металла, стекла и пластмассы равна соответственно 10, 15, 3 кг. Совместная общая поверхность кузова вместе с дверями и окнами должна составлять 14 м²; из них не менее 4 м² и не более 5 м² следует отвести под стекло. Масса кузова не должна превышать 150 кг. Сколько листового металла, стекла и пластмассы должен использовать наилучший план ?

Решить задачу в Excel.