Для студентов / Методички / (2)Методичка - СТО-УКР / (7)СТО(укр)
.docРОЗДІЛ 3. РЕЛЯТИВІСТСЬКА ДИНАМІКА
Рух частинок у електричному та магнітному полях
Імпульс
та енергія
релятивістської частинки визначаються
формулами:
, (182)
. (183)
З формул (182) та (183) випливає зв’язок між імпульсом, енергієй та швидкістю частинки
, (184)
а також між її энергією, імпульсом і масою:
. (185)
Рух частинки описується узагальненим рівнянням Ньютона-Айнштайна:
.
(186)
Задача
20.
Частинка з масою
та зарядом
влітає в постійне однорідне електричне
поле напруженості
.
Початкова швидкість частинки
перпендикулярна вектору
.
Знайти закон руху частинки і її траєкторію.
Розглянути граничний випадок малих
швидкостей.
Розв’язок:
Будемо
виходити з рівняння руху частинки під
дією сили
,
яка діє на частинку з боку електричного
поля:
. (186)
Спрямуємо
вісь
вздовж вектора
.
Тоді
, 
. (187)
Перші інтеграли рівнянь (187) знаходяться елементарно:
,
.
Оскільки
на початку руху
дорівнює нулю, то і постійна
,
тобто:
,
.
(188)
Враховуючи,
що згідно (184)
,
трансформуємо перше з рівнянь руху
(188) в
рівняння для
-координати
точки:
. (190)
Розглянемо залежність енергії частинки від часу. Підставимо (188) в вираз для квадрата імпульсу:
.
Звідси і (185) випливає, що
.
(191)
Як наслідок, рівняння руху (190) набуває вигляду
,
.
(192)
Після
переходу до нової змінної
воно елементарно інтегрується:
.
(193)
Якщо
ми будемо вважати, що початкове положення
частинки співпадає з початком координат,
то
і
-
координата частинки описується рівнянням:
.
(194)
У
такий самий спосіб знайдемо і залежність
від часу
координати
частинки. З другого з рівнянь (188) і (184)
випливає, що
.
(199)
В позначеннях, описаних вище, воно приймає вигляд:
,
(200)
цілком придатний для застосування табличних інтегралів. Оскільки
,
то з (200) знаходимо:
.
Константа
визначається
з
умови
і дорівнює:
.
Остаточно
,
.
(201)
Характерний
час
розділяє часову шкалу на області 1)
і 2)
,
в яких характер руху частинки є суттєво
різним. Зокрема, в граничних випадках
1)
і 2)
мають місце наступні асимптотики:
,
,
(202)
і
,
.
(203)
Використовуючи тотожність
,
його можна також представити у вигляді
. (204)
Звідси
випливає, що час як функція координати
частинки
визначається рівнянням:
.
(205)
Для
побудови траєкторії частинки потрібно
з рівнянь (194) і (201) виключити час, тобто
(205) підставити в (194). Враховуючи, що
,
знаходимо:
.
(206)
Рівняння такого роду описує криву, яку слід було б назвати гіперболічною циклоїдою. Від звичайної циклоїди вона відрізняється дуже суттєво.
На
початку руху, коли
і
,
можна скористатись розкладом (206) в ряд
за степенями
.
Неважко бачити, що в цьому випадку
. (207)
Отримана формула повністю узгоджується з асимптотиками (202) і описує параболічну криву.
Задача
21.
Частинка з масою
та зарядом
влітає у постійне однорідне магнітне
поле напруженості
.
Знайти траєкторію руху частинки.
Розв’зок:
В магнітному полі на заряджену частинку діє сила Лоренца:
, (209)
так що рівняння Ньютона-Айнштайна приймають вигляд:
. (210)
З урахуванням зв’язку між імпульсом і швидкістю, який задається формулою (184), рівняння (210) переходить в
. (211)
Звичайно, можна було б скористатись і рівнянням руху:
,
якщо імпульс взяти у вигляді (182). Але рівняння (211) має ту перевагу, що енергія частинки в магнітному полі залишається незмінною, оскільки сила Лоренца є перпендикулярною швидкості руху.
Нехай
вісь
лабораторної системи координат є
направленою вздовж вектора напруженості
магнітного поля. Тоді
, (213)
а компоненти вектора швидкості, згідно (211), задовольняють сукупності взаємозв’язаних диференціальних рівнянь:
(214)
де
є так звана циклотронна частота.