Задача 17. Використовуючи попередні результати, знайти силу взаємодії між двома точковими зарядами в ЛСВ, якщо обоє зарядів рухаються вздовж вісі з однаковою швидкістю і є віддаленими один від одного на відстань в ССВ.

Розв’язок:

Взаємодія двох точкових зарядів, які рухаються відносно ЛСВ складається з 1) електричної і 2) магнітної взаємодій між ними.

Для розрахунку сили, з якої один заряд діє на другий скористаємось загальною формулою Лоренца:

, (146)

в якій перший доданок описує силу електричної взаємодії, а другий – магнітної.

Нехай и будуть напруженостями електричного і магнітного полів, утворених зарядом 1. Тоді сила, яка діє на заряд 2 з боку заряда 1 дорівнюватиме:

, (147)

де значення векторів и беруться в точці знаходження заряду 2. Підставимо в (147) їх значення, які задаються формулами (135) і (144). У такий спосіб отримуємо:

, (148)

де

-

радіус-вектор відносного розташування зарядів 2 і 1, а є кут між радіус-вектором і швидкістю . Спрощуючи подвійний векторний добуток в (148) за стандартною формулою векторної алгебри

, (149)

отримуємо

. (150)

Розглянемо тепер два найважливіших граничних випадки:

а) заряди розташовані у площині, перпендикулярній їх швидкості і

б) заряди розташовані на прямій, паралельній їх швидкості.

Рис. 7. Два окремих випадка взаємного розташування рухаючихся зарядів.

В першому з цих випадків вектор

є перпендикулярним швидкості і . Внаслідок цього формула (150) суттєво спрощується:

. (153)

Тут враховано, що .

В другому випадку , тому і . Підставляючи ці значення в формулу (150), отримуємо:

. (154)

Співвідношення відстаней між точками в ЛСВ і ССВ є таким самим, як і співвідношення між довжинами стержня (), зорієнтованого паралельно швидкості: . Тому остаточно (154) переходить в

. (155)

Різний характер взаємодії між зарядами 1 і 2 у випадках а) і б) має просте фізичне тлумачення. Заряд 1 породжує електричне і магнітне поля. В випадку а) напруженість магнітного поля в точці знаходження заряду 1 є перпендикулярною швидкості заряду 2. Неважко впевнитись, що магнітна складова сил взаємодії між зарядами є паралельною прямій, на якій розташовані заряди, і направленою протилежно силам електричної взаємодії. У випадку б) магнітна взаємодія між зарядами є відсутньою.

4-х вимірна форма законів збереження електромагнітного поля

Закон збереження енергії електромагнітного поля має структуру:

, (1)

де

- (2)

4-х вектор Пойнтінга-Умова, - тривимірний вектор Пойнтінга-Умова, - густина енергії.

Закони збереження енергії і імпульсу електромагнітного поля об’єднуються в чотири рівняння для компонентів тензора енергії-імпульсу:

, , (3)

де

. (4)

Тут - компоненти густини імпульсу, а , , є компонентами Максвелівського тензору натягів (МТН), який визначається наступним чином:

. (5)

Йому можна надати символічного вигляду:

, (5)

де – одиничний тензор.

Густини енергії і імпульсу утворюють 4-х вектор імпульсу:

. (6)

Задача 18. Найти МТН електромагнітного поля лінійно поляризованої плоскої хвилі.

Розв’язок:

Введемо допоміжну систему координат (СК) , вісь якої спрямована вздовж напрямку розповсюдження хвилі, а вісі та – вздовж взаємно перпендикулярних векторів напруженості електричного та магнітного полів відповідно (див. Рис 8).

Рис. 8. Взаємна орієнтація ЛСВ і допоміжної СК

У допоміжній СК вектори та мають компоненти:

, , . (157)

З цього і густини енергії в плоскій хвилі випливає, що

. (158)

де – густина енергії у плоскій хвилі.

У відповідності до (155), (157) та (158) компоненти МТН у допоміжній СК дорівнюють:

_. (159)

Оскільки діада в допоміжній СК має такі ж самі компоненти:

рівняння (159) можна переписати також у вигляді:

(160)

або

_. (161)

Фактично, формула (161) задає інваріантну форму МТН, тому і в довільній лабораторній СК можна написати:

_{. (162)}

Зокрема, якщо одиничний вектор в ЛСВ задається компонентами , то в ЛСВ МТН і тензор єнергії імпульсу мають структуру:

(163)

і

. (164)

Задача 19. Знайти закони перетворення густин енергії, імпульсу та компонент МТН плоскої хвилі при переході від однієї ІСВ до іншої.

Розв’зок:

Для знаходження закону перетворення густини енергії поля плоскої хвилі скористаємось тим, що , і звернемось до закону перетворення компонентів 4-х вектора Пойнтінга-Умова:

.

Для плоскої хвилі , тому

.

Звідси зразу ж випливає шуканий закон перетворення густини енергії:

, (163)

де - кут між хвильовим вектором і віссю .

Закон перетворення компонентів густини імпульсу знаходиться цілком аналогічно. Виходячи зі стандартного співвідношення

, ,

отримуємо:

(164)

де враховано, що .

Для побудови закону перетворення компонентів МТН ми виходимо з того, що , при . Спираючись на це співвідношення і загальний закон перетворення компонентів тензора єнергії-імпульсу:

, ,

для компонентів МТН в системі відліку знаходимо:

, . (168)

Для подальших кроків врахуємо, що

, , , .

Підставляючи ці значення матричних елементів в (168), знаходимо:

Неважко впевнитись, що

, , .

Таким чином, компоненти МТН в ІСВ матимуть наступний вигляд:

. (169)

Зовні МТН має досить заплутану структуру. Зокрема, якщо в ІСВ ми візьмемо МТН плоскої хвилі

_,

_то

. (170)

Для інтерпретації різних внесків в (170) поглянемо на проблему з дещо іншого боку. З принципу еквівалентності різних ІСВ випливає, що загальний вигляд МТН в ІСВ повинен бути таким самим, як і в ЛСВ, тобто

.

Підставляючи сюди значення і як функції і , ми і отримуємо співвідношення (170).

Задача 20. Компоненти МТН плоскої хвилі в ЛСВ мають структуру:

. Знайти компоненти МТН в ІСВ .

Розв’зок:

З принципу еквівалентності різних ІСВ випливає, що шуканий МТН має структуру:

. (173)

Кут , який утворює одиничний вектор , направлений вздовж напрямку розповсюдження хвилі в ІСВ , перетворюється за законом (див.()):

.

Густина енергії хвилі пов’язана з її значенням в ЛСВ співвідношенням:

.

Підставляючи ці значення в (173), ми і знаходимо остаточний вигляд компонентів МТН в .

, ,

(171)

, .

виділимо в (168) внески 4-го стовпців і рядків:

(169)

і врахуємо, що

, ,

(170)

і ,

а також

, ,

(171)

, .

Підставимо (170) і (171) в (169) і зробимо послідовні елементарні сумування за індексами. Неважко впевнитись, що різні доданки дорівнюють:

,

,

.

Остаточно, компоненти МТН плоскої хвилі в ІСВ дорівнюють:

=. (172)