Для студентов / Методички / (3)Методичка - ЕСС / Оператор Лапласа / (2)Собственные значения и собственные функции оператора

1. Власні значення і власні функції оператора

Функції , які задовольняють рівнянню

(1.1)

і певним граничним умовам називаються власними функціями оператора. Відповідні їм числа називають власними значеннями оператора. Оператор называють невырожденным, якщо кожному відповідає тільки одна власна функція.

Власні функції невырожденного оператора задовольняють умові ортогональності:

. (1.2)

Вони завжди можуть бути нормованими так, щоб

(1.3)

Таким чином, , утворюють повну систему ортонормованих функцій.

Довільна функція тих же змінних, яка є заданою в тій же області , що і сукупність функцій , може бути розкладеною в ряд:

, (1.4)

коефіцієнти якого визначаються рівнянням:

(1.5)

Завдяки умові ортонормованості (1.3), має місце наступна теорема теорема:

(1.6)

яку називають теоремою Парсеваля.