Для студентов / Лекции / (3)СТВ / (1)Проблема відносності в механіці і електродинаміці

1. Проблема відносності в механіці і електродинаміці

Незалежність механічних явищ від швидкості відносного руху інерціальних систем відліку (ІСВ) була помічена в сиву давнину. Системи відліку були названі інерціальними, якщо в них тіло зберігає стан спокою або рівномірного руху за відсутності зовнішніх сил, прикладених до нього. Всі такі системи рухаються одна відносно другої зі швидкістю, яка залишається постійною за величиною і напрямком. Повсякденний досвід і спеціально поставлені експерименти показували, що існує безліч ІСВ.

Дійсно, коливання гойдалки на березі моря і кораблі, який плив з постійною за величиною і напрямком швидкістю відносно берега, були абсолютно подібними: при однакових параметрах гойдалки і відхиленнях від рівноважного стану в початковий момент часу гойдалки мали однакові значення періодів коливань, а залежність відхилень гойдалок в різних ІСВ від часу були повністю однаковими. Багатовікові спостереження дозволили Галілею сформулювати принцип відносності, або принцип повної еквівалентності протікання механічних процесів в різних ІСВ. Іншими словами це твердження можна переформулювати як принцип еквівалентності різних ІСВ. Тут є дуже важливим, що ні Галілей, ні його сучасники ще не знали законів руху тіл під дією зовнішніх і внутрішніх сил. Це означало, що закони руху тіл слід було вважати цілком коректними тільки при умові, що вони самі і всі їх наслідки знаходяться у згоді з принципом відносності Галілея.

Крім того, Галілей доповнив якісне твердження про еквівалентність різних ІСВ перетвореннями координат і часу, що зв’язують їх значення в двох довільних ІСВ. Так, якщо положення матеріальної точки в ІСВ задається радіус-вектором в момент часу , то їх значення в другій ІСВ визначаються співвідношеннями:

і , (1.1)

де - швидкість відносного руху відносно . При зворотному переході від ІСВ до , формули переходу є цілком подібними:

і . (1.2)

Вони відрізняються від (1.1) тільки напрямком швидкості: . З фізичної точки зору, таким чином, приймається, що швидкість плинності часу в різних ІСВ є однаковою, або значення часу мають абсолютний характер. Можна сказати і інакше: відрізки часу між якимось двома подіями в і є однаковими:

. (1.3)

Як наслідок, відстані між двома довільними точками в і також повинні бути однаковими:

. (1.4)

Більш детально ця обставина буде обговорюватись нижче.

Формули (1.1) і (1.2) приводять до наступного закону додавання швидкостей:

або . (1.5)

Десь через 3/4 сторіччя після формулювання принципу відносності була запропонована механіка Ньютона. Вона включала два якісних закони руху, перший і третій, і один кількісний (другий). В ІСВ , пов’язаній з Землею, він має вигляд:

. (1.6)

При переході до другої ІСВ ми враховуємо, що прискорення руху частинки є однаковим в і :

.

Це безпосередньо випливає з (1.3) і (1.5). Маса тіла є його динамічною характеристикою і безпосередньо з законами перетворення (1.1) і (1.2) просторових координат точки і часу не пов’язана, тобто

.

Теж саме можна сказати і про значення сили , яка діє на матеріальну точку. Сила визначається певним набором її характеристик і відносним просторовим розташуванням джерела сили і матеріальної точки, рух якої досліджується. Але просторові відстані, згідно, (1.4) залишаються незмінними, а силові характеристики не мають прямого відношення до законів перетворення (1.1) і (1.2). Тому робиться висновок, що

.

Це дає нам підстави стверджувати, що рівняння руху матеріальної точки в ІСВ має такий же вигляд, як і в ІСВ :

. (1.7)

Інакше кажучи, можна стверджувати, що друге рівняння Ньютона є інваріантними відносно перетворень Галілея. Якісні твердження, які відповідають першому і третьому законам Ньютона, теж не суперечать принципу відносності Галілея.

Механіка Ньютона з великим успіхом описувала рух як земних, так і небесних тіл. І тому згодом принцип відносності Галілея почав втрачати своє визначальне значення. Його скоріш сприймали як перетворення Галілея (1.1) і (1.2), які залишали інваріантними рівняння Ньютона. Оскільки наукова вага останніх була надзвичайно високою, то такого ж значення набули і перетворення Галілея.

а) Поведінка рівнянь Максвела при перетвореннях Галілея

Ситуація в фізиці різко ускладнилась після появи рівнянь Максвела. Це було, перш за все, пов’язаним з тим, що в рівняння Максвела входила величина , яка має смисл швидкості розповсюдження електромагнітних хвиль. Виникало питання чому дорівнює швидкість електромагнітних хвиль в ІСВ, яка рухається відносно Землі, на якій, власне, і були встановлені рівняння Максвела. У згоді з класичним законом додавання швидкостей слід було б чекати, що

. (1.8)

Різна швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у двох ІСВ є вельми тривожною, оскільки приводить до неузгодженості протікання механічних і електромагнітних процесів в них, або, інакше, порушенню їх послідовностей в різних ІСВ.

Не менш складною є також інша обставина: рівняння Максвела виявились неінваріантними відносно перетворень Галілея. Дійсно, розглянемо це питання більш детально. Очевидно, що при перетвореннях Галілея всі просторові похідні перетворюються за найпростішим законом:

.

Часові похідні в рівняннях Максвела перетворюється за більш складним законом. Дійсно, розглянемо закон перетворення похідної при переході до змінних ІСВ . Оскільки , а , то

.

Позначаючи далі як , ми приходимо до результату:

, . (1.9)

Так само перетворюється і похідна .

Достатньо очевидним є і закон перетворення густини току:

Таким чином, при переході від змінних , що використовуються в ІСВ до змінних (), що відповідають ІСВ , рівняння Максвела набувають вигляду:

(1.10)

Як бачимо, структура рівнянь змінюється. Ця обставина часто сприймається як неінваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Галілея.

Але такий висновок є передчасним. Нова форма рівнянь Максвела відповідає тільки переходу () і ніяких тверджень або припущень відносно законів перетворень напруженостей електричного і магнітного полів не було зроблено. Зазначимо, що найпростіша форма закону перетворення напруженостей: дійсно, приводила б до чіткого висновку про неінваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Галілея. Давайте розглянемо аргументи про застосовність цього найпростішого припущення.

б) Порівняння напруженостей електричного і магнітного полів точкового заряду в двох різних ІСВ

Нехай точковий заряд в лабораторній ІСВ є нерухомим і знаходиться на початку координат. Поле, яке він утворює, описується формулами:

, . (1.11)

Тут, крім загального вигляду подано напруженість електричного поля в ЦСК.

Нехай тепер заряд рухається вздовж вісі з постійною за величиною швидкістю . В цьому випадку скалярний і векторний потенціали полів визначаються відомими потенціалами Лієнара-Віхерта (див. ()):

, , ,

.

Напруженості полів визначаються за стандартними формулами і і в ЦСК дорівнюють:

(1.12)

де - орт ЦСК.

Розглянемо тепер напруженості полів в ІСВ , яка рухається відносно вихідної ІСВ вздовж вісі зі швидкістю , а заряд знаходиться на початку координат вихідної ІСВ . Зрозуміло, що в ІСВ напруженості полів будуть визначатись формулами, подібними до (1.12):

(1.13)

Тут ми додатково прийняли, що . Замінимо тепер в (1.13) координати () точки в ІСВ на її координати в ІСВ за формулами:

,

що відповідають перетворенням Галілея в нашому конкретному випадку. В результаті отримуємо:

(1.14)

Порівняння формул (1.11) і (1.14) примушує нас зробити висновок, що напруженості полів не переходять одна в одну тільки при заміні координат і часу згідно перетворень Галілея. Проте, при пониженні точності опису напруженість електричного поля згідно (1.14) співпадає з відповідним виразом в (1.11). Дійсно,

(1.15)

в) Принципова несумісність рівнянь Максвела і перетворень Галілея

В попередньому розділі було показано, що закони перетворення напруженостей полів суперечать найпростішому припущенню: . В загальному випадку вони повинні мати вигляд:

,

,

де і постійні коефіцієнти, . Подібні лінійні комбінації не порушують лінійності рівнянь Максвела (див. (І.6) і (І.7)) і, крім того, написані додатки зберігають векторний характер напруженості електричного поля і псевдовекторний - напруженості магнітного поля.

Проте, підстановка цих комбінацій в рівняння Максвела зразу ж приводить принципового утруднення. Дійсно, третє рівняння Максвела в ІСВ () при повернені до ІСВ приймає вигляд:

,

Тобто, , що в загальному випадку суперечить теоремі Гауса.

г) Принцип відносності Айнштайна

Неінваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Галілея поставила перед фізиками важкі питання: 1) чи має принцип відносності загальне застосування і 2) чи відображають перетворення Галілея дійсні зв’язки між просторовими і часовими координатами подій в різних ІСВ. Гострота проблеми поглиблювалась тим, що механіка Ньютона разом з перетвореннями Галілея узгоджувалась з усіма накопиченими за два з лишком сторіччя експериментальними фактами, а разом із законом всесвітнього тяжіння описувала і всі спостереження на небі. Це був надзвичайно сильний фактор, який практично усував всі вагання відносно справедливості вихідних положень класичної механіки.

Разом з тим, не вдавалось знайти і вагомих аргументів відносно непридатності рівнянь Максвела. Результати експериментів Фізо, Майкельсона і Морлі, Кеннеді і …, в яких ключову роль відігравали оптичні і електромагнітні ефекти, не узгоджувались з класичним законом додавання швидкостей (1.8), хоча і не дозволяли зробити однозначні висновки на користь рівнянь Максвела.

Наприкінці 19-го і на початку 20-го сторіччя було також встановлено вигляд лінійних перетворень просторових координат і часу, а також напруженостей електричного і магнітного полів, які залишають рівняння Максвела інваріантними. Ці перетворення, які пов’язують в ІСВ зі значеннями () в ІСВ , отримали назву перетворень Лоренца, хоча раніше зустрічались також в роботах Кліффорда і Фойгта, а дещо пізніше були побудовані Пуанкаре і Айнштайном. Якщо ІСВ рухається відносно ІСВ зі швидкістю , яка направлена вздовж осей і , а осі і та і залишаються паралельними, перетворення Лоренца мають вигляд:

. (1.16)

Вони переходять у перетворення Галілея при , тобто при швидкостях, які є набагато меншими від швидкості розповсюдження електромагнітних хвиль. Ця обставина вже напряму ставила питання про обмеженість областей застосування рівнянь Ньютона і перетворень Галілея тільки малими швидкостями. Крім того, вона ставила під сумнів основні положення класичної фізики про абсолютність простору і часу. Під сумнівом опинились і класичні уявлення про незмінність інтервалів довжини і часу, оскільки вони не узгоджувались з перетвореннями Лоренца.

Повне вирішення всіх проблем, пов’язаних з існуванням принципу відносності, було дано Айнштайном в роботі 1905 року. На відміну від своїх попередників він, взагалі, не цікавиться питанням про коректність чи некоректність рівнянь Ньютона і Максвела і тих перетворень просторових координат і часу, відносно яких вони залишаються інваріантними.

На перший план він ставить:

1. принцип відносності, згідно з яким всі явища природи повинні мати однаковий характер в різних ІСВ, або, повну еквівалентність різних ІСВ і

2. твердження, що просторово-часові уявлень формуються тими полями взаємодії, які здійснюють зв'язок між фізичними об’єктами і спостерігачем.

Таким чином, з самого початку закладається залежність плину часу і довжин відрізків від вибору ІСВ і властивостей полів взаємодії. При цьому постулюється, що для забезпечення однакової послідовності подій в різних ІСВ

3. швидкості розповсюдження різних полів взаємодії повинні бути однаковими і приймати одне і теж значення в різних ІСВ:

. (1.17)

Айнштайн показує, що перетворення Лоренца випливають тільки з цих постулатів і не потребують ніякого звернення до тих чи інших рівнянь руху. Більш того, коректність чи не коректність рівнянь руху визначається, перш за все, їх інваріантністю відносно перетворень Лоренца, які уособлюють собою природні просторові-часові співвідношення.

д) Перетворення Лоренца

У згоді з постулатом відності Айнштайна набір просторово-часових координат деякої події в ІСВ є повністю еквівалентним відповідниму набору () в ІСВ . Ці набори координат повинні бути зв’язаними між собою лінійними перетвореннями, оскільки тільки в цьому випадку прямолінійний і рівномірний рух точки в ІСВ залишиться прямолінійним і рівномірним також і в ІСВ , і навпаки.

Для конкретності розглянемо найпростіший випадок, коли рухається з постійною швидкістю вздовж осей і при умові, що осі і та і залишаються паралельними одна одній. Лінійні закони перетворень координат точки і часу набувають вигляду:

(1.18)

Координати і залишаються незмінними, оскільки відносний рух вздовж цих осей не відбувається. Для знаходження коефіцієнтів скористаємось рівняннями руху світлового сигналу між двома довільними близькими точками:

(1.19)

Оскільки і , то рівняння (1.19) є еквівалентними більш простим рівнянням:

(1.20)

При перетворенні (1.18) друге з рівнянь (1.20) у згоді з принципом відносності повинно переходити в перше з рівнянь. Перед підстановкою відповідних диференціалів врахуємо, що . Дійсно, початок СК в ІСВ рухається зі швидкістю . Покладаючи в (1.18) , знаходимо, що . Оскільки швидкість точки визначається співвідношенням , то коефіцієнти і повинні бути взаємно-залежними у вказаний вище спосіб. З цього і (1.18) остаточно випливає:

. (1.21)

Підставимо ці диференціали в друге з рівнянь (1.20):

.

Отримане рівняння буде переходити в перше з рівнянь (1.20) при умові, що його коефіцієнти дорівнюють:

(1.22)

Неважко переконатись, що системі рівнянь (1.22) відповідає розв’язок:

,

у згоді з яким формули (1.18) переходять у перетворення Лоренца.

Перетворення Лоренца, таким чином, віддзеркалюють найбільш загальні закони розповсюдження електромагнітних хвиль, а також закони розповсюдження всіх інших взаємодій, які пов’язують спостерігача з об’єктами спостережень. Такий статус перетворень Лоренца приводить до необхідності

1. повного перегляду кінематики матеріальної точки, заснованої на перетвореннях Галілея. Перш за все, перегляду процедур вимірювання довжин відрізків і тривалості проміжків часу, а також співвідношень між ними;

2. узгодження всіх динамічних рівнянь з перетвореннями Лоренца. Коректними потрібно вважати тільки рівняння, які є інваріантними відносно перетворень Лоренца. Звідси випливає, що саме рівняння Ньютона вимагають суттєвої модифікації.

Ці питання і будуть об’єктом нашого подальшого аналізу.

Руху матеріальної точки на протязі нескінчено малого проміжку часу можна поставити у відповідність величину:

, (1.23)

яку прийнято називати інтервалом руху. Оскільки швидкість точки є меншою від швидкості електромагнітного сигналу, то є відмінним від нуля. Поняття інтервалу узагальнюється також для будь яких двох подій, розділених відстанню і проміжком часу . Неважко переконатись, що величина інтервалу руху є інваріантною відносно перетворень Лоренца:

. (1.24)

е) Доповнення і зауваження

Теорія відносності Айнштайна суттєво змінила майже всі уявлення про оточуючий нас Всесвіт, які створювались віками. Єдине, що зберігало статус абсолютності, це існування самого Всесвіту. Було показано, що характер співвідношень між просторовими і часовими інтервалами довільних світових подій залежать від вибору тієї чи іншої ІСВ. Поля взаємодії в теорії Айнштайна перестали бути об’єктами спостереження, властивості яких ніяким чином не є пов’язаними з властивостями простору і часу. Було показано, що саме поля взаємодії і формують їх властивості.