termex / Theoretical_Mechanics_part_03_03

§ 3. Прямолинейное движение материальной точки.

3.1. Условия прямолинейности движения.

Теорема: Для того чтобы движение свободной МТ

было прямолинейным, необходимо и достаточно, чтобы действующая сила имела постоянное направление, а начальная скорость точки была направлена вдоль линии действия этой силы или была равна нулю.

движения направлена по оси Ox , следовательно, и начальная скорость точки должна быть направлена по оси Ox или быть равной нулю.

Так как y&& = z&& = 0 , то из уравнений движения (1.4) следует, что Fy = Fz = 0 , т.е. что сила должна быть

направлена по оси Ox .

Таким образом, высказанные условия необходимы. Докажем их достаточность.

точки будет ось Ox .

Покажем теперь, что если сила – центральная и начальная скорость направлена по силе или равна нулю, то движение прямолинейно (см. Рис. 3.1).

y r M F

v0 x

O

Рис. 3.1

Возьмем за плоскость движения плоскость Oxy , и пусть

O будет центром силы F .

Так как по условию сила F – центральная, то будет иметь место закон площадей – момент количества движения или момент скорости относительно центра O есть величина постоянная, т.е. momO (v) = xy& − yx& = c .

Так как начальная скорость v0 проходит через центр сил

O (или равна нулю), то момент ее относительно того же центра O будет равен нулю, т.е. в начале движения точки имеем c = 0 .

Следовательно,

xy& − yx& = 0 , или y& y = x& x .

Интегрируя последнее уравнение, получаем:

ln y = ln x + ln c0 , или y = c0x ,

т.е. траекторией точки является прямая, проходящая через

r

центр силы F .

3.2. Дифференциальное уравнение прямолинейного движения.

Прямолинейное (вдоль оси Ox ) движение свободной материальной точки определяется одним дифференциальным уравнением второго порядка

r

где сила F может быть функцией времени t , координаты x данной точки и ее скорости x& . Интегрируя это уравнение, получим общее решение

Взяв производную по времени от выражения (3.2), будем иметь:

Для определения констант интегрирования c1 и c2 используем начальные условия движения: при t = t0 имеем x = x0 и x& = v0 . Тогда из (3.2) и (3.3) найдем

x0 = x(t0, c1, c2 ) и v0 = x&(t0, c1, c2 ) ,

подставив которые в (3.2), окончательно получим частное решение, соответствующее начальным условиям движения:

представляет собой частный случай теоремы об изменении количества движения МТ в дифференциальной форме.

Интегрируя уравнение (3.5) и полагая, что при t = 0 начальная скорость vx = v0x , находим выражение той же

теоремы в интегральной форме:

где Sx – есть проекция импульса равнодействующей F , приложенных к точке сил, на ось Ox .

импульс Sx непосредственно вычисляется и теорема (3.6)

дает первый интеграл уравнения движения. Если же преобразовать правую часть уравнения (3.1) к виду

то дифференциальное уравнение движения в форме:

– будет выражать для прямолинейного движения теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме, а величина Fxdx будет в данном случае

элементарной работой равнодействующей сил F , приложенных к точке.

Интегрируя уравнение (3.7) и полагая, что при t = 0 скорость частицы есть vx = v0x , получим выражение

теоремы в интегральной форме

где ΑM0 M1 – работа действующих сил на перемещении материальной частицы из положения M0 (x0 ) в положение M1(x1) на ее траектории.

В случае, когда сила зависит только от расстояния, т.е. Fx = Fx (x) , или постоянна (Fx = const) , работа ΑM0 M1

непосредственно вычисляется и теорема (3.8) дает первый интеграл уравнения движения (3.1).

Если сила постоянного направления зависит только от расстояния, то она будет потенциальной и в этом случае

Покажем, что если сила есть функция только одного переменного, то дифференциальное уравнение прямолинейного движения интегрируется методом разделения переменных.

Случай 1. Пусть действующая сила – функция только времени:

Fx = Fx (t) .

Тогда теорема об изменении количества движения (3.6) сразу дает первый интеграл

Случай 2. Пусть действующая сила – функция только расстояния:

Fx = Fx (x) .

Тогда по теореме (3.8) будем иметь:

Из этого уравнения, учитывая, что при прямолинейном движении vx = ±v , находим

где знак перед радикалом определяется по знаку vx . Разделив переменные, получим:

найдем x(t) = ∫ψ(t)dt + c .

В противном случае можно применить другой способ интегрирования.

Представим ДУ движения в виде (3.7):

После интегрирования последнего уравнения имеем

Исключая vx из уравнений (3.10) и (3.11), найдем искомый закон движения x = f(t).