Лаб_работы / Лабораторная_работа_6 / Логические функции

Логические функции

Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение – латинская буква (A, B, X, Y, …). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).

Логическая функция (составное высказывание) содержит несколько простых высказываний, соединенных между собой с помощью логических операций.

Логические операции – логическое действие.

Если логическую функцию выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить. Значением логического выражения могут быть только ЛОЖЬ или ИСТИНА. При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно: действия в скобках; инверсия; конъюнкция; дизъюнкция. В привычных символах - (…), НЕ(), И(), ИЛИ().

Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных.

Для составления таблицы необходимо определить:

1. количество строк в таблице (вычисляется как 2ⁿ, где n – количество переменных) + заголовок,

2. количество столбцов = количество переменных + количество логических операций,

3. последовательность выполнения логических операций.

Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.

Заполнить таблицу истинности по столбцам.

Пример 1

Построим таблицу истинности для выражения (A  B)  ( A   B).

Количество строк = 2² (2-е переменные А и В) + 1(заголовок столбцов) = 5.

Количество столбцов = 2-е переменные (A, B) + 5 логических операций (, , , , ) = 7.

Расставим порядок выполнения операций: 1 5 2 4 3

(A  B)  ( A  B)

Построим таблицу:

A	B	A  B	A	B	A  B	(A  B)  (A  B)
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Пример 2

Построим таблицу истинности для логического выражения X  Y  Z.

Количество строк = 2³ + 1 = 9.

Количество столбцов = 3-и логические переменные + 3-и логические операции = 6.

Порядок действий: 3 2 1

X  Y  Z.

Нарисуем и заполним таблицу.

X	Y	Z	Z	Y  Z	X  Y  Z
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

Логические формулы и функции в MS Excel

Пример 3. Введем в ячейку А1 формулу =7>5. Она вернет значение ИСТИНА. Скопируем содержимое A1 в А2 и исправим в А2 формулу: = 3>5. Эта формула вернет значение ЛОЖЬ. Правые части обеих формул представляют собой высказывания, т.е. утверждения, относительно которых можно заключить, верны они или нет. Арифметические формулы высказываниями не являются: они предписывают, как по исходным данным вычислить значение, и вопрос об их истинности или ложности не имеет смысла.

Операции сравнения

>	>=	<	<=	=	<>
больше	больше или равно	меньше	меньше или равно	равно	не равно

Обратите внимание, что символ отношения "больше или равно" изображается двумя знаками: > и =. Причина в том, что на клавиатуре нет знака .

Имеются логические операции, которые позво­ляют строить сложные логические выражения. Эти операции реализованы в MS Excel как функции. Вот перечень логических операций и соответствующих им функций MS Excel, расположен­ных в порядке убывания приоритета.

Название	Обозначение	Функция MS Excel	Арифметический оператор
Скобки	(…)	(…)	(…)
Отрицание		НЕ	- унарный минус
Конъюнкция		И	* - умножение
Дизъюнкция		ИЛИ	+ - сложение

Здесь можно провести аналогию с арифметическими опера­торами: отрицанию соответствует унарный минус, конъюнкции — умножение, дизъюнкции — сложение. На самом деле в MS Excel приоритет логических операций не имеет значения, так как они реализованы в виде функций.

У логических функций аргументы могут принимать только два значения: ИСТИНА и ЛОЖЬ. Поэтому логические функции можно задать таблицей истинности, где перечислены все возможные значе­ния аргументов и соответствующие им значения функций.

Таблица для функции НЕ имеет вид.

х	НЕ(x)
ЛОЖЬ	ИСТИНА
ИСТИНА	ЛОЖЬ

Таблица для функций И и ИЛИ имеет вид.

x	y	И(x,y)	ИЛИ(x,y)
ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ
ЛОЖЬ	ИСТИНА	ЛОЖЬ	ИСТИНА
ИСТИНА	ЛОЖЬ	ЛОЖЬ	ИСТИНА
ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА	ИСТИНА

Функция НЕ может иметь только один аргумент, а функции И и ИЛИ могут иметь два и более аргументов.

Пример 4. В ячейке А6 (с именем z) записано число. Выяснить, при­надлежит ли оно отрезку [2, 5].

Решение. Присвоим ячейке А6 имя z. Введем в А6 число 3. Сначала сконструируем логическое выражение, решающее задачу. Для того чтобы z принадлежал отрезку [2, 5], нужно, чтобы одновременно были истинны два условия: x >= 2 и z <= 5.

((z >= 2) и (z <= 5)) В ячейке В6 разместим формулу =И(z>=2;z<=5). В В6 получим значение ИСТИНА.

Пример 5. В ячейке А6 (с именем z) записано число. Выяснить, при надлежит ли оно одному из лучей на числовой оси: (-, 2) или (5, ).

Для того чтобы z принадлежал хотя бы одному из лучей, нужно, чтобы был ис­тинным хотя бы одно из условий: (z < 2) или (z > 5). В ячейке D6 разместим формулу =ИЛИ(z<2;z>5). А6 содержит число 3 поэтому формула возвращает ЛОЖЬ.

На приведенных примерах можно убедиться, что в логических выражениях число 1 ведет себя как ИСТИНА, а число 0 как ЛОЖЬ.

5