Лабораторная работа № 11

Вычисление производной функции

Вычисление определенных интегралов

Цель работы: выработать навык использования табличного процессора MS Excel для численного (приближенного) вычисления производных функций (дифференцирование) и определенных интегралов (интегрирование), заданных в табличном виде.

Задание 1

Вычисление производной функции

Для функции своего варианта, используя MS Excel, вычислить производную в точках заданного интервала тремя способами: правых конечных разностей, левых конечных разностей и центральных разностей. Построить совмещенные графики вычисленных производных.

Методика выполнения задания.

Способы вычисления производной функции, заданной в табличном виде:

способ правой конечной разности

с пособ левой конечной разностью

с пособ центральных разностей

Вычисление производных на границе интервала, где задана функция, имеет свои особенности. Несложно догадаться, что, например, если вычислять производные согласно формуле для правых разностей, на правой границе диапа­зона производную вычислить не удастся. Для формулы левых разностей пробле­мы возникают, соответственно, на левой границе. Что касается центральных раз­ностей, то формула не может использоваться на обеих границах интервала.

Пример

Вычислить производную функции на интервале [0; 5].

Аналитически производная выражается формулой .

На рисунке представлена функция, табулированная с шагом 0,5 и формулы вычисления производной перечисленными выше способами. Там же приведены и точные значения производной в соответствующих точках.

интервала.

Порядок решения примера:

1. В ячейку А2 вводим 0 (начальное значение интервала) и с шагом 0,5 заполняем диапазон до значения 5 (конечная ячейка А12).

2. Вводим формулы:

В ячейку В2 =1/(1+A2) (функция 1/(1+x)) и копируем до ячейки В12;

В ячейку С2 (Правые разности) =(В3-В2)/(A3-A2) и копируем до ячейки С11;

В ячейку D3 (Левые разности) =(В3-В2)/(A3-A2) и копируем до ячейки D12;

В ячейку Е3 (Центральные разности) =(В4-В2)/(A4-A2) и копируем до ячейки E11;

В ячейку F2 (Точное значение) =−1/(1+A2)^2 (аналитически вычисленная производная -1/(1+x)^2) и копируем до ячейки F12.

Н а рисунке приведено расположение формул в ячейках таблицы.

3. Строим совмещенные графики, вычисленной производной всеми способами и проводим анализ. При заданных начальных условиях ближе всего к точному решению находится результаты расчета способом центральных разностей.

В вариантных примерах Задания 1 шаг табулирования функции внутри интервала выбрать по формуле:

Шаг = (максимальное значение − минимальное значение) / 50.

Вариант	Функция	Интервал
1		[10; 110]
2		[1; 20]
3		[0; 10]
4		[0; 3]
5		[4; 12]
6		[0; 0,5]
7		[0; ]
8		[0; ]
9		[1; 8]
10		[2; 6]
11		[1; 4]
12		[0; 10]
13		[0; 2]
14		[1; 5]
15		[10; 80]
16		[1; 5]
17		[0; 3]
18		[0; 1]
19		[2; 12]
20		[1; 2]

Задание 2