Лаб_работы / Лабораторная_работа_4 / Системы счисления

Системы счисления

Системы счисления – это совокупность приемов представления натуральных чисел с помощью заданного набора цифр или символов. Системы счисления бывают двух видов: непозиционные и позиционные.

Непозиционные системы счисления

В древние времена, когда люди начали считать, появилась необходимость в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали соответствующим количеством каких-либо значков (насечек, черточек, точек и т.д.) Изучение археологами таких «записок» показало, что люди группировали «числа» по 3, 5, 7 или 10. такая группировка облегчала счет; Т.к. первым «вычислительным инструментом» были человеческие пальцы, то счет чаще всего вели группами по 5 и по 10.

В дальнейшем, свое название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и пр. Такие узловые величины стали отображать особыми значками – цифрами.

Если при подсчете предметов их оказывалось, например, 2 сотни, 5 десятков и еще 4 предмета, то при записи этого числа повторяли дважды знак сотни, пять раз – знак десятка и четыре – знак единицы.

Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее положения в числе.

Такая система вам знакома – это римская система счисления. Так же считали и в Древней Греции, Египте, на Руси.

На Руси буквы азбуки имели числовое значение, если над ней стоял значок «~» – тильда Ã = 1 и т.д.

Самая большая величина – 1050 – колода . Считалось, что «более сего несть человеческому уму разумети».

В Римской системе счисления использовались следующие цифры:

I	V	X	L	С	D	М
1	5	10	50	100	500	1000

Правила записи чисел в римской системе счисления:

Если числа записаны в порядке убывания, то их значения складываются.

Если две цифры стоят в порядке возрастания – их значения вычитаются.

Перед старшей цифрой не может быть записано более одной младшей цифры.

Нельзя писать подряд более трех одинаковых цифр:

Пример:

VI = 5 + 1 = 6

IV = 5 – l = 4

Нельзя писать IIV = 5 – 1 – 1 = 3. Надо: III = 1 + 1 + 1 = 3

Нельзя писать ХХХХ = 10+10+10+10. Надо: XL

Пример:

MCMXCVII=1000+(1000–100)+(100–10)+5+l+l=1000+900+90+7=1997

Непозиционные системы счисления более-менее удобны для сложения-вычитания, но совершенно неудобны для умножения и деления.

Позиционные системы счисления

Впервые идея позиционных систем счисления появилась в Древнем Вавилоне.

Позиционная система счисления – это система счисления, в которой значение цифры зависит от ее положения в числе.

Основание системы счисления – это количество цифр, которое используется для записи чисел.

С позиционной системой счисления вы знакомы с раннего детства – это десятичная система счисления. Эту систему принято называть арабской, но зародилась она в Индии в V веке. В Европе об этой системе узнали в ХП веке из арабских научных трактатов, переведенных на латынь. Этим и объясняется название «арабские числа».

Широкое распространение эта система получила в XVI в. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические действия и записывать числа любой величины, распространение арабской системы счета дало мощный толчок развитию математики.

В десятичной системе счисления запись чисел производится с помощью десяти цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, т.е. десятичная система счисления имеет основание 10.

Рассмотрим пример, из которого видно, что одна и та же цифра имеет разное значение: дано число 333. Оно составлено из цифр – 3. В разных позициях эта цифра имеет значение: 3 сотни = 300, 3 десятка – 30 и 3 едини­цы = 3.

Таким образом, число 333 можно представить в виде суммы: 333 = 300 + 30 + 3 = 300 + 30 +3 = 3·102 + 3·101 + 3·100

Десять – не единственное возможное основание системы счисления. За основание системы счисления можно принять любое натуральное число, большее 1.

Основание системы счисления указывают около числа нижним индексом: 10012 ; 37128; 3B8F16

Развернутая форма записи числа

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде:

А =  (a_n-1q^n-1 + a_n-2q^n-2 + … + a₀q⁰ + a_-1 q^-1 + a_-2q^-2 + … a_-mq^-m),

где q - основание системы счисления,

а_i - цифры данной системы счисления,

n - число разрядов целой части числа,

m — число разрядов дробной части числа.

Системы счисления с основанием q = 2ⁿ , используемые в ЭВМ

Для упрощения решения задач перевода чисел, из одной системы счисления в другую, удобно пользоваться таблицей соответствия систем счисления.

Десятичная q = 10	Двоичная q = 21	Восьмеричная q = 23	Шестнадцатеричная q = 24
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

4