Лаб_работы / Лабораторная_работа_10 / Лабораторная работа 10

Лабораторная работа № 10

Нахождение экстремумов функций

Решение системы нелинейных уравнений

Цель работы: выработать навык использования надстройки MS Excel Поиск решения.

ЗАДАНИЯ

Методика выполнения лабораторной работы

1. Нахождение экстремумов функций

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого отрезка локальный экстремум, то его можно найти, используя надстройку MS Excel Поиск решения.

Рассмотрим последовательность нахождения экстремума функции на следующих примерах.

Пример 1.

Пусть задана функция Z = X⁴ + Y⁴ – X² – 2XY – Y². Требуется найти ее экстремум (минимальное значение).

Для решения задачи выполните действия (рис. 1):

• В ячейку В4 рабочего листа введите любое число принадлежащее области определения функции, в этой ячейке будет находиться значение Х (например 5);

• В ячейку В5 введите любое число принадлежащее области определения функции, в этой ячейке будет находиться значение У (например 2);

• В ячейку В6 введите формулу определяющую заданную функцию. Вместо переменной Х в этой формуле должна быть ссылка на ячейку А4, а вместо переменной У ссылка на ячейку В5.

Р ис. 1.

• Выполните команду меню Сервис | Поиск решения (рис.2);

Рис. 2.

• Н ажав на кнопку Параметры в окне инструмента Поиск решения, откройте окно Параметры поиска решения (рис. 3) и установите: число итераций – 1000, относительная погрешность 0,00001.

Рис. 3.

• В поле Установить целевую ячейку укажите адрес ячейки, содержащей формулу ( B6), установите переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки введите адрес ячеек, содержащих Х и У (А4:А5);

• Щелкните на кнопке Выполнить. В ячейках В4 и В5 будут помещены значения Х и У при которых функция Z имеет минимальное значение, а в ячейке В6 – минимальное значение функции.

Ответ: X = 0,99999; Y = 1; Z = −2.

Пример 2.

Пусть задана функция Z = X² + Y². Требуется найти ее экстремум (минимальное значение) при условии: X + 2Y = 1.

Для решения задачи выполните действия (рис. 4):

• В ячейку В4 рабочего листа введите любое число принадлежащее области определения функции, в этой ячейке будет находиться значение Х;

• В ячейку В5 введите любое число принадлежащее области определения функции, в этой ячейке будет находиться значение У;

• В ячейку В6 введите формулу, определяющую заданную функцию. Вместо переменной Х в этой формуле должна быть ссылка на ячейку В4, а вместо переменной У ссылка на ячейку В5.

• В ячейку В6 введите формулу функции =В4^2 + В5^2.

• В ячейку B7 введите формулу условия = В4 + 2*В5.

• В ячейки В4 и В5 введите начальные значения (например 1 и 3 соответственно).

Рис. 4.

• Выполните команду меню Сервис | Поиск решения;

• Настройте параметры инструмента Поиск решения: число итераций – 1000, относительная погрешность 0,00001.

• В поле Установить целевую ячейку укажите адрес ячейки, содержащей формулу ( B6), установите переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки введите адрес ячеек содержащих Х и У (В4:В5);

• Д обавьте ограничение, заполнив форму (рис. 5) и щелкните по кнопке

Рис. 5.

Выполнить. В ячейке В6 будет помещено минимальное значение функции. В ячейках В4 и В5 величины Х и У при которых функция Z достигает минимума.

Ответ: X = 0,2; Y = 0,4; min Z = 0,2.

2. Решение систем нелинейных уравнений

Применяя надстройку MS Excel Поиск решения можно решать системы нелинейных уравнений. Рассмотрим последовательность решения на примере.

Пример

Дана система двух уравнений:

Требуется найти все корни приведенных уравнений, если такие существуют.

Шаг 1. Для определения существования корней построим графики уравнений, представив их в виде y = f(x).

Первое уравнение: Границы изменения аргумента [‑1,7; 1,7].

Второе уравнение: Границы изменения аргумента [-; +].

Ш аг 2. Построим графики уравнений Y1, Y2 и Y3 в границах изменения аргумента [-1,7; 1,7]. В этих границах находится решение первого уравнения. В ячейки А4:А38 вводим аргумент Х. В ячейку В4 вводим формулу =КОРЕНЬ(3−А4^2). В ячейку С4 вводим формулу =−КОРЕНЬ(3−А4^2). В ячейку D4 вводим формулу =(1−2*A4)/3. Введенные формулы копируем до 38 строки. Выделяем диапазоны: В4:В38; С4:С38 и D4:D38. Строим график (рис. 6).

Рис. 6.

Как видно из рисунка решением системы уравнений являются точки пересечения окружности и прямой. Приблизительное значение корней: [X₁; Y₁] ~ [-1,3; 1,2], [X₂; Y₂] ~ [1,7; -0,8].

Шаг 3. Для дальнейшего поиска корней необходимо привести систему к одному равносильному уравнению. Пара (х, у) является решением системы тогда и только тогда, когда она является решением следующего уравнения с двумя неизвестными:

(х² + у² − 3)² + (2х + 3у − 1)² = 0.

Шаг 4. Для уточнения значения 1-го корня выполняем следующие действия (адреса ячеек могут быть другие):

В ячейки B1:B2 заносим приблизительные значения 1-го корня -1,3 и 1,2 соответственно.

В ячейку В3 записываем формулу равносильного уравнения.

Вызываем надстройку Поиск решения, и вносит в ее форму наши данные.

Находим решение

Первый корень: [X₁; Y₁] = [-1,26859; 1,179031]

Аналогично уточняем 2-й корень, занося в ячейки B1:B2 приблизительные значения 2-го корня 1,7 и -0,8 соответственно.

Находим решение

Второй корень: [X₂; Y₂] = [1,576208; -0,7175].

Шаг 5. Табуляция равносильного уравнения по двум переменным X и Y. Для табуляции уравнения из рисунка 6 определяем отрезки табуляции по переменной X [−1,7; 1,7], по переменной Y [−1; 1,6] и выполняем следующие действия:

• На новом рабочем листе в столбец А начиная с ячейки А2 введите последовательность значений Х с шагом 0,1, а в строку 1, начиная с ячейки В1 введите последовательность значений Y с шагом 0,2.

• Присвойте диапазонам значений Х и У имена Х и У, соответственно (команда Вставка | Имя | Присвоить …)

• В ячейку В2 введите формулу

=(Х^2 + Y^2 −3)^2+(2*X+3*Y−1)^2 и скопируйте ее по всем переменным, заполнив ею диапазон В2:О36.

П о полученным данным строим график равносильного уравнения представляющего собой поверхность. Корни системы уравнений находятся во впадинах, где уравнение принимает наименьшие значения.

Контрольные вопросы

1. Для решения, каких задач применяется надстройка MS Excel Поиск решения?

2. Объясните процесс подготовки задачи к решению с помощью надстройки Поиск решения.

3. Объясните назначение элементов диалоговых окон: Поиск решения и Параметры поиска решения.

9