госы / Шпоры - 1

.

Геометрический смысл нормальной формы уравнения прямой:

1. – угол наклона нормали прямой к оси Ох, точнее , где – ориентированный угол между векторами .

– нормаль прямой.

Обычно его представителем берут направленный отрезок, который откладывается от точкиО и направлен в сторону прямой. Если прямая проходит через точкуО, то за нормаль можно взять любой из двух единичных векторов, перпендикулярных прямой.

2. Пусть M_o(x_o, y_o) – некоторая точка, – прямая, заданная общим уравнением . Тогда расстояние от точки M_oдо прямой вычисляется по формуле:

.(5)

Замечание. Расстояние между параллельными прямыми , позволяет вычислить следующаяформула: .

.

2. Пусть даны две прямые и , заданные общими уравнениями, т.е. заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, т.е. , .

а) Условие перпендикулярности прямых и имеет вид:

.

б) Условие параллельности прямых и имеет вид:

.

2.4. Прямая в пространстве (способы задания, угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью,взаимное расположениепрямой и плоскости)

Способы задания прямой в пространстве:

1. Прямая задается начальной точкой и направляющим вектором .

а) – каноническое уравнение прямой;

б) – параметрические уравнения прямой (–параметр).

2.Прямая может быть задана двумя точками , , .

– уравнение прямой.

3. Уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей.Пусть плоскости и заданы уравнениями:, , тогда – уравнение прямой .

Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве. Прямыеи заданы своими каноническими уравнениями, т.е.

Решение. Для написания канонического уравнения прямой достаточно знать точку , через которую она проходит, и направляющий вектор . Координатами точки является частное решение системы. В качестве такого решения

можно взять: , , . Направляющий вектор параллелен

плоскостям и , поэтому его координаты удовлетворяют уравнениям направляющих подпространств этих плоскостей. Иначе говоря, для нахождения координат получим систему:

Одним из решений этой системы является тройка , , . Следовательно, каноническое уравнение прямой имеет вид: .

Замечание. За направляющий вектор прямой можно взять вектор , где и .

2) Уравнение прямой , проходящее через точку с данным нормальным векторомимеет вид:. 3) Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид: , где k– это тангенс угла наклона прямой к осиОх, — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy. Если прямая задана общим урав-ем, т.е. , тогда ,.

4)Уравнение прямой , проходящей через точку с данным угловым коэффициентом

kимеет вид:.

Угол между прямыми на плоскости 1) Пусть даны две пересекающиеся прямые и : ,– направляющий вектор прямой ; , – направляющий вектор прямой . При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Наименьший из них называют углом между прямыми. Обозначение: .

1,, где, – направляющиевекторы прямыхи , и – начальныеточки прямыхи .

Возможны 5 случаев взаимного расположения прямыхи :)прямые и принадлежат одной плоскости тогда и только тогда когдавекторы, , компланарны, т.е. ;

2)прямыеи являются скрещивающимися тогда и только тогда когда

;

3)

4)

5)=

(на рисунке изображен второй случай). Угол между прямыми и, заданных общими уравнениями вычисляется по следующей формуле: .

2) Прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, т.е. , , тогда . Если одна из данных прямых параллельна оси Оy, тогда данной формулой воспользоваться нельзя.

Условия перпендикулярности и параллельности двух прямых

1) Пусть даны две прямые и , заданные общими уравнениями, т.е.

,–

– формула для вычисления угла между прямымии .

Взаимное расположение прямой и плоскостив пространстве. Угол между прямой и плоскостью в пространстве.Плоскость и прямая заданы своими уравнениями, т.е. , где – нормальныйвектор плоскости , , где – направляющийвектор прямой , – начальнаяточка прямой , тогда

1);

2) ;

3) прямая принадлежит плоскости, если

– формула для

вычисления угла между прямой и плоскостью .

Пример. Написать каноническое уравнение прямой