Фильтр низких частот с характеристикой Чебышева.

В отличие от фильтра Баттерворта фильтр Чебышева в полосе пропускания (0≤ω≤1) график рабочего затухания имеет не монотонный, а колебательный характер, причем размах (амплитуда) колебаний на всем протяжение полосы пропускания остаются одинаковыми. По этой причине характеристику Чебышева называют равномерно-колебательной в полосе пропускания.

За пределами полосы пропускания рабочее затухание фильтра с характеристикой Чебышева монотонно возрастает по мере уве­личения частоты.

Формула частотной зависимости рабочего затухания фильтра с характеристикой Чебышева имеет вид

где ε - некоторая постоянная величина, как правило, не превыша­ющая единицы; T_n(ω) – так называемый полином (многочлен) Чебышева (назван по имени великого русского математика II. Л. Чебышева, который создал теорию таких полиномов); ω - независимая переменная или аргумент полинома (в нашем случае круговая частота), а индекс п обозначает порядок полинома. Порядок п численно равен высшей степени переменной ω в составе полинома и количеству реактивных элементов в схеме фильтра.

Полиномы Чебышева нулевого, первого и второго порядков соответственно имеют вид: T₀(ω) = 1; T₁(ω) = ω; T₂(ω) = 2ω²-1. Полиномы более высоких порядков можно найти с помощью фор­мулы T_n+1(ω) = 2ω T_n(ω) – T_n-1(ω).

Например, T₃(ω) = 2ω T₂(ω) – T₁(ω)=2ω(2ω²-1)-ω=4ω³-3ω.

Графики полиномов Чебышева первого, второго и третьего порядков для интервала -1≤ω≤1 приведены ниже:

Легко заметить, что при изменении круговой частоты ω от 0 до 1 численное значение квадрата полинома Чебышева будет изменяться в пределах от 0 до 1, оставаясь все время положительной величиной. Максимальное значение выражения под знаком логарифма в полосе пропускания будет (1+ε²), а максимальная величина рабочего затухания в полосе пропускания соответственно равна:

a_{р макс} = ∆ a_р = 10lg(1+ε²).

Таким образом, от численного значения ε зависит величина не­равномерности рабочего затухания фильтра в полосе пропускания. При уменьшении величины ε неравномерность рабочего затухания фильтра в полосе пропускания уменьшается, т. е. характеристика фильтра становится лучше. Но улучшение характеристики дости­гается не даром: уменьшение ε при заданном п приводит также к уменьшению рабочего затуха­ния фильтра в полосе задерживания [при ω>1 функция T²_n(ω) по мере увеличения частоты быстро возрастает и затухание фильтра практически определяется величиной выражения ε²T²_n (ω)].

От численного значения порядка характеристики п зависит ко­личество «всплесков» (максимумов) характеристики затухания в полосе пропускания, а также величина затухания в полосе задер­живании. Чем больше порядок п при заданных ε и ω, тем больше рабочее затухание фильтра в полосе задерживания. Влияние по­рядка п на характеристику затухания поясняется в рисунке выше.

Фильтр с характеристикой Золотарева.

Мы ус­тановили, что рабочее затухание фильтра НЧ с характеристикой Баттерворта монотонно возрастает как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Затухание фильтра с характеристикой Чебышева изменяется по равномерно-колебательному закону в полосе пропускания и монотонно - в полосе задерживания.

Еще более сложный вид имеет график рабочего затухания фильтра с характеристикой Золотарева. У такого фильтра харак­теристика рабочего затухания является равномерно-колебательной не только в полосе пропускания, но и в рабочей полосе задержи­вания, где рабочее затухание на некоторых частотах становится бесконечно большим, а в промежутках между этими частотами уменьшается до некоторой величины a_р.мии.

При одном и том же количестве элементов в схемах фильтров Баттерворта, Чебышева и Золотарева и при одинаковой неравно­мерности затухания в полосе пропускания фильтр Золотарева обе­спечивает наибольшую крутизну графика рабочего затухания в переходной полосе от полосы пропускания к полосе задерживания. Следовательно, при заданном значении граничной круговой часто­ты рабочей полосы задерживания ω₃ фильтр Золотарева обеспе­чит при ω = ω₃ наибольшую величину затухания по сравнению с двумя другими фильтрами. Фильтр Чебышева обеспечивает мень­шую величину затухания, чем фильтр Золотарева, а фильтр Бат­терворта—меньшую, чем фильтр Чебышева.

В то же время фильтр Золотарева имеет более сложную схе­му, а его характеристика затухания более чувствительна к откло­нениям величин элементов от их номинальных (расчетных) зна­чений, нежели характеристики двух других фильтров.

В свою очередь, при заданном порядке передаточной функции n фильтр Баттерворта обеспечивает наименьшие искажения формы импульсов при их передаче.

Фазовые характеристики фильтров НЧ.

Фор­мула частотной зависимости рабочей фазовой постоянной фильтра НЧ имеет более сложный вид, чем формула рабочего затухания.

Рабочая фазовая постоянная фильтра НЧ при нулевой частоте равна нулю, а по мере увеличения частоты монотонно растет, до­стигая при ω->∞ величины радиан, где n - порядок пере­даточной функции.

При граничной частоте рабочей полосы пропускания величина b_p составляет примерно половину указанного выше значения.

Каталоги нормированных схем фильтров НЧ.

Понятие о синтезе схемы фильтра. Все задачи расчета электрических цепей, с которыми встречаемся в теории связи по проводам, можно разбить на две группы: определение электрических характеристик некоторой заданной цепи, или зада­ча анализа цепи, и получение (разработка) схемы электрической цепи по заданным ее электрическим характеристикам, или задача синтеза цепи. В частности, процедура получения схемы электриче­ского частотного фильтра (включая численные значения ее элементов) по заданной частотной зависимости рабочего затухания называется синтезом фильтра.

Решение задачи синтеза фильтра основано на сложном мате­матическом аппарате и выходит за рамки данного курса. Однако сама идея синтеза достаточно проста, и ее можно отразить в виде следующей условной записи:

Основы синтеза фильтра по рабочей передаточной функции были разработаны в конце 30-х годов прошлого столетия, накану­не второй мировой войны. Один метод был предложен немецким ученым В. Кауэром, а другой - американским специалистом в области теории цепей С. Дарлингтоном. В обоих случаях для реали­зации передаточной функции n-го порядка требуется находить корни вспомогательного алгебраического уравнения степени 2n, причем корни должны быть найдены не менее чем с шестью и да­же восемью значащими цифрами. Метод синтеза, не требующий вы­числения корней вспомогательного уравнения, был предложен только в 1973 г А.Поповым, не требующим вычисления корней вспомогательных уравнений.

Решение алгебраического уравнения высокой степени представляет собой очень трудоемкую задачу, поэтому синтез фильтров по рабочей передаточной функции не получал распространения в ин­женерной практике до тех пор, пока были изобретены быстродей­ствующие электронные вычислительные машины (ЭВМ). Но даже после появления и широкого распространения ЭВМ синтез филь­тров по рабочей передаточной функции оставался практически не­доступным широкому кругу инженеров и техников по причине отсутствия специальных знаний и программ машинного счета.

Между тем было замечено, что в инженерной практике нахо­дит применение довольно ограниченное количество типов переда­точных функций. Возникла идея: раз и навсегда рассчитать схе­мы наиболее употребительных фильтров с помощью ЭВМ и представить результаты расчета в виде каталога схем.

Один из первых в мировой практике каталогов схем был сос­тавлен советским инженером М.Е.Альбацем и издан в нашей стране и 1963 г.