Теория функций комплексных переменных / Картан А. - Элементарная теория аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных. М., 1963

— математиками, механиками и физиками.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода

5

Предисловие

7

Глава I. Степенные ряды от одного переменного

11

§.1. Формальные степенные ряды

11

§ 2. Сходящиеся степенные ряды

20

§ 3. Экспоненциальная и логарифмическая функции

35

§ 4. Аналитические функции действительного и комплексного

45

переменного

Упражнения

55

Глава II. Голоморфные функции, интеграл Коши

62

§ 1. Криволинейные интегралы

62

§ 2. Голоморфные функции; основные теоремы

84

Упражнения

97

Глава III. Ряды Тейлора и Лорана. Особые точки и вычеты

102

§ 1. Неравенство Коши; теорема Лиувилля

102

§ 2. Теорема о среднем. Принцип максимума

104

§ 3. Лемма Шварца

107

§ 4. Разложение функций в ряд Лорана

108

§ 5. Введение бесконечной точки. Теорема о вычетах

115

§ 6. Вычисление интегралов с помощью вычетов

126

Упражнения

140

Глава IV. Аналитические функции многих переменных; гармонические

153

функции

§ 1. Степенные ряды с многими переменными

153

§ 2. Аналитические функции

156

§ 3. Гармонические функции двух действительных переменных

158

§ 4. Формула Пуассона. Задача Дирихле

165

§ 5. Голоморфные функции многих комплексных переменных

171

Упражнения

178

Глава V. Сходимость последовательностей голоморфных и мероморфных

183

функций. Ряды, бесконечные произведения; нормальные семейства

§ 1. Топология пространства C(D)

183

§ 2. Ряды мероморфных функций

191

§ 3. Бесконечные произведения голоморфных функций

203

§ 4. Компактные подмножества в пространстве H(D)

209

Упражнения

217

Глава VI. Голоморфные отображения

222

§ 1. Общие понятия. Примеры

222

§ 2. Конформное отображение

230

§ 3. Основная теорема о конформных отображениях

238

§ 4. Понятие аналитического пространства. Интегрирование

243

дифференциальных форм

§ 5. Римановы поверхности

254

Упражнения.

270

Глава VII. Системы дифференциальных уравнений

274

§ 1. Теорема существования и единственности

274

§ 2. Зависимость от параметров и начальных условий

281

§ 3. Дифференциальные уравнения высшего порядка

284

Упражнения

285

Некоторые ответы

289

Предметный указатель

290

Указатель обозначений

294

Предметный указатель

Автоморфизм области

VI

2

2

— сферы Римана

VI

2

4

Адамара теорема о трех кругах

III

упр.

8

— формула

I

2

3

Алгебра полиномов

I

1

1

— формальных степенных рядов

I

1

2

Аналитическая функция

I

4

1

IV

2

2

Аналитическое пространство

VI

4

2

Антиголоморфное преобразование

VI

1

1

Аргумент

I

3

4

Бесконечная точка

III

5

1

Вейерштрасса теорема

III

4

4

— функция Sp

V

2

b

Величина абсолютная комплексного числа

I

2

1

Ветвление

VI

4

6

Вычет

III

5

2

— на аналитическом пространстве

VI

4

8

Гармоническая функция

IV

3

1

Гартогс

IV

5

2

Голоморфная функция

II

2

2

— — на аналитическом пространстве

VI

4

1

— — — бесконечности

III

5

I

— — римановой поверхности

VI

5

2

— — сфере Римана

III

5

1

— — нескольких переменных

IV

3

1

Гомотопные пути замкнутые

II

1

6

— — с фиксированными концами

II

1

6

Граница компакта ориентированная

II

1

9

Грина — Римана формула

II

1

3

и

9

Группа автоморфизмов

VI

2

2

— — плоскости

VI

2

3

— периодов

III

5

5

Даламбера теорема

III

1

2

Дирихле задача

IV

4

3

Звездное множество

II

1

7

Изменение аргумента

II

1

5

Изоморфизм аналитических пространств

VI

4

2

— одной области на другую

VI

1

3

Инверсия с отражением

VI

2

Ь

Индекс ветвления

VI

4

6

— замкнутого пути

II

1

8

Карта

III

5

1

Конформное отображение

VI

1

1

— представление

VI

2

1

Координаты локальные

VI

4

1

Коши интегральная формула

II

2

Ь

IV

5

2

— неравенство

III

1

1

III

4

4

IV

5

4

— теорема

II

2

4

Кратность нуля

I

4

4

— полюса

I

4

Ь

Кривая эллиптическая

V

2

5

VI

5

3

Критическая точка

VI

1

2

Лапласа оператор

IV

3

1

Лиувилля теорема

III

1

2

Логарифм комплексный

1

3

Ь

Лорана разложение

III

4

2

— ряд

III

4

1

Мера угла

I

3

4

Мероморфная функция

I

4

5

— — на аналитическом пространстве

VI

4

5

— — — бесконечности

III

5

1

— — — римановой поверхности

VI

5

2

Модуль комплексного числа

I

2

1

Морера теорема

II

2

7

Накрытие

VI

5

1

Непрерывная ветвь логарифма

I

3

о

Неразветвленная риманова поверхность

VI

5

1

Неразветвленное отображение

VI

4

6

Норма комплексного числа

1

2

1

Нормальная сходимость ряда

1

2

2

Область сходимости

IV

1

2

Обратный ряд в кольце сходящихся степенных рядов

I

2

6

— — — — формальных рядов

I

1

5

— — относительно закона композиции к сходящемуся

I

2

9

степенному ряду

— — — — — — формальному ряду

I

1

7

Ограниченное подмножество пространства H (D)

V

4

1

Однолистное отображение

V

1

2

Односвязная область

II

1

7

Ориентация пути

II

1

1

Открытое отображение

VI

1

3

Параллелограмм периодов

III

5

5

Периоды (интеграла дифференциальной формы на

VI

4

8

аналитическом пространстве)

Пикара теорема

III

4

4

Поверхность Римана

VI

5

1

Подгруппа стационарная

VI

2

3

Поднятие пути

VI

5

4

Подстановка одного формального ряда в другой

I

1

4

— сходящегося степенного ряда

I

2

5

Полюс

I

4

5

III

4

4

Порядок формального ряда

I

1

3

— — — нескольких переменных

IV

1

1

Последовательность компактов исчерпывающая

V

1

3

Примитивная дифференциальной формы

II

1

2

— — — на аналитическом пространстве

IV

4

8

— замкнутой дифференциальной формы вдоль пути

II

1

5

Принцип аналитического продолжения

I

4

3

IV

2

3

VI

4

4

VI

5

4

— максимума

III

2

2

VI

4

4

IV

упр.

4

Произведение бесконечное

V

3

1

Производная сходящегося степенного ряда

I

2

7

— формального ряда

I

1

6

Пространство аналитическое

VI

4

2

Пуассона формула

IV

4

1

— ядро

IV

4

1, 2

Путь гладкий

II

1

1

— замкнутый

II

1

1

— кусочно гладкий

II

1

1

— не обязательно гладкий

II

1

5

Равномерно сходящийся ряд

I

2

2

Радиус сходимости

I

2

3

Разложение Лорана

III

4

2

— Тейлора

II

2

6

Разложимость функции в ряд Лорана

III

4

2

— — — степенной ряд

I

4

1

Римана сфера

III

5

1

Риманова поверхность

VI

5

1

Руше теорема

III

упр.

19

Ряд Лорана

III

4

1

— мажорирующий

VII

1

3

— Тейлора

III

1

1

— формальный

I

1

2

— — нескольких переменных

IV

1

1

Семейство нормальное

V

4

Симметрии принцип

II

2

9

VI

упр.

6

Структура аналитическая индуцированная

VI

4

2

— аналитического пространства

VI

4

1

Субгармоническая функция

IV

упр.

4

Суммируемое семейство формальных рядов

1

1

3

Сфера Римана

III

5

1

Сходимость нормальная на компактах

V

1

1

— равномерная на компактах

V

1

1

— рядов мероморфных функций

V

2

1

Тейлора разложение

II

2

6

— ряд

III

1

1

Теорема о среднем для гармонических функций

IV

3

3

IV

4

5

— — — — голоморфных функций

III

2

1

— основная о конформных отображениях

VI

4

7

VI

3

1

Точка критическая

VI

1

2

— особая изолированная

III

4

4

— существенно особая

III

4

4

Форма дифференциальная голоморфная на

VI

4

8

аналитическом пространстве

— — замкнутая

II

1

4

Функция Г

V

3

4

— G-Вейерштрасса

V

9

5

Шварца Лемма

III

3

Эквивалентные структуры аналитических пространств

VI

4

2

Экспоненциальная функция

I

3

1

— — действительная

I

3

9

— — мнимая

I

3

3

Ядро Пуассона

IV

4

1,2