_gmurman2[1]

У Д К 519.2 ББК 22.171

Г 55

ISBN 5-06-004212-Х © ФГУП «Издательство «Высшая школа», 2004

Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшая пшола», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запрещается.

Часть первая

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Глава первая

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

§ 1. Классическое и статистическое определение вероятности

При классическом определении вероятность события опреле^-хпет-

ся равенством

Р(А)^т/п.

где Л1—число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; п—общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы обра­ зуют полную группу и равновозможны.

Относительная частота события А определяется равенством

WiA)^m/n,

где т—число испытаний, в которых событие А наступило; п —общее число произведенных испытаний.

кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно 6-6'=^-36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.

Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на од­ ной грани появится шестерка, сумма выпавших очков — четная) явля­ ются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпав­ ших на «первой» кости, вторым—число очков, выпавших на «второй» кости; далее найдена сумма очков):

1) 6, 2; 64-2 = 8, 2) 6, 4; 6 + 4-= 10. 3) 6, 6; 6-f6=rl2, 4) 2. 6: 2 + 6-«8. 5) 4, 6; 4+6=10 .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благопри­ ятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исхо­ дов: Я = 5/36.

2. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная

я 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

Р е ш е н и е , а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30

ло 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартная деталь, Р == 10/30-^ 1/3.

3.Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно на­ званное двузначное число; б) случайно названное двузнач­ ное число, цифры которого различны.

4.Указать ошибку «решения» задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумлш вы­ павших очков равна 3 (событие А).

«Р е ш е н и е>. Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Отбытию Л 6.iaroприятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следова­ тельно, искомая вероятность Р(>4)~1/2.

Ошибка этого «решения» состоит в том, что рассматриваемые ис­ ходы не являются равновозможными.

Правил! ь н о е р е ш е н и е . Общее число равновозможных исхо­ дов равно 6-6==36 (каждое число очков, выпавших на одной кости, может сочетаться со всеми числами очков, выпавших на другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только два исхода (в скобках указаны числа выпавших очков); (1; 2) и (2; !)• О|едовательно, искомая вероятность Р (Л)--2/36-^= 1J8.

5. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпав­ ших очков равна пяти, а произведение — четырем.

е. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тща­ тельно перемешаны. Найти вероятность того, что науда­ чу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.

7.Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

8.В коробке шесть одинаковых, занумерованных ку­ биков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков по­ явятся в возрастающем порядке.

9.Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безраз-