Фізика / Задачі фізики 1
.docxЗадача 1.
Матеріальна точка здійснює прямолінійний рух (вздовж осі Ох), кінематичне рівняння руху якої має такий вигляд, де , , . Визначити координату точки, миттєву швидкість та прискорення для моменту часу після початку руху, де - номер варіанту.
Дано:
Розв’язування.
Координату точки знаходимо,в рівняння руху підставляємо час: .
Миттєву швидкість знаходимо, продиферинціювавши координату за часом (взяти похідну): Знак мінус вказує на те, що в заданий момент часу точка рухається в від’ємному напрямку координатної осі Ох.
Миттєве прискорення в довільний момент часу, знаходимо, взявши другу похідну від координати за часом або першу похідну від швидкості за часом: . Знак мінус вказує на те, що в заданий момент часу прискорення направлено в від’ємному напрямку координатної осі Ох.
Відповідь: 4м, -4м/с, -6 м/с2.
Задача 2.
Матеріальна точка здійснює обертальний рух, кінематичне рівняння руху якої має такий вигляд , де , , . Визначити кутову координату точки, миттєву кутову швидкість та кутове прискорення для моменту часу після початку руху, де - номер варіанту.
Дано:
Розв’язування.
Кутову координату точки знаходимо, в рівняння руху підставляємо час : .
Миттєву кутову швидкість знаходимо, продиферинціювавши кутову координату за часом (взяти похідну):
Миттєве кутове прискорення в довільний момент часу, знаходимо, взявши другу похідну від кутової координати за часом або першу похідну від кутової швидкості за часом: .
Відповідь: 4рад, -4рад/с, -6 рад/с2.
Задача 3.
Тіло обертається навколо нерухомої осі. Залежність кута повороту тіла від часу задана рівнянням , де , . Знайти модуль повного прискорення точки , розміщеної на відстані від осі обертання, в момент часу, де - номер варіанту.
Дано:
Розв’язування.
Повне прискорення точки , яка рухається по кривій лінії, можна знайти як геометричну суму тангенціального прискорення , направленого по дотичній до траєкторії, та нормального прискорення , направленого до центра кривизни траєкторії:
(1)
Оскільки вектори взаємно перпендикулярні, то модуль повного прискорення : . (2)
Тангенціальне та нормальне прискорення точки тіла, що обертається, виражаються за формулами:
, ,
де -кутове прискорення тіла; – кутова швидкість тіла.
Замінимо у формулі (2) і на відповідні вирази. Тоді знайдемо:
. (3)
Кутову швидкість обчислюємо за першою похідною від кута повороту за часом :
.
Кутове прискорення знаходимо, взявши першу похідну від кутової швидкості за часом :
.
Кутове прискорення заданого руху є сталим, тобто не залежить від часу. Підставимо значення і та задане значення у формулу (3):
=0,1.
Відповідь: 1,65 м/с2.
Задача 4.
Матеріальна точка масою рухається по колу радіусом в площині ХОУ, причому рух її заданий такими кінематичними рівняннями: ; . Визначити силу , яка діє на цю точку в момент часу , де N – номер варіанту.
Дано:
Розв’язування.
За відомими кінематичними рівняннями руху точки ,
, та її масою знайти силу, що діє на точку в будь-який момент часу.
Розв’язок цієї задачі одержуємо безпосередньо з другого закону Ньютона в диференціальній формі. Для цього знаходимо проекції сили на осі координат:
, , , за проекціями сили визначаємо модуль сили : , а також її напрямок у будь-який момент часу .
Із заданих рівнянь знаходимо проекції прискорення на осі координат:
,.
Помноживши ці рівняння на масу матеріальної точки, дістанемо проекції сили на ці осі:
, .
Модуль шуканої сили визначимо за формулою:
.
Після підстановки числових значень отримаємо:
.
Визначимо напрямок сили . Для цього знайдемо напрямні косинуси:
;
.
Одночасно напрямні косинуси радіуса-вектора можна виразити так:
;
.
Отже, ці вектори спрямовані по одній прямій, але в різні боки. Тому силу визначають за такою формулою: . З цього рівняння видно, що сила притягувальна, оскільки її напрямок протилежний до напрямку радіуса-вектора і вона пропорційна масі точки та її відстані до центра притягання, який знаходиться в центрі кола.
Відповідь: 2366,3 Н.
Задача 5.
Обчислити дефект маси та енергію зв’язку ядра хімічного елемента, порядковий номер якого збігається із номером в списку за журналом обліку студентів.
Приклад розв’язування задачі.
Обчислити дефект маси та енергію зв’язку ядра хімічного елемента бору .
Дано:
Розв'язування.
Дефект маси ядра визначають за формулою:
.
Після підстановки числових значень отримаємо:
Енергія зв’язку ядра визначається за формулою:
,
де .
Після підстановки числових значень отримаємо:
.
Відповідь: , .Задача 5.
Задача 6.
Матеріальна точка масою кинута з початковою швидкістю під кутом до горизонту. Знайти рух цієї точки в просторі під дією сили земного тяжіння, тобто визначити модуль вектора переміщення для моменту часу та знайти рівняння траєкторії.
Дано:
Розв'язування.
Для спрощення початкове положення тіла приймемо за початок координат системи відліку, зв’язаного з поверхнею Землі. Систему координат розмістимо так, щоб початкова швидкість знаходилась у площині YOZ, вісь Zспрямуємо вертикально вгору, а вісь У – горизонтально.
На точку А діє лише сила земного тяжіння . За такого вибору системи координат проекції сили на осі координат дорівнюватимуть: , .
Початковими кінематичними характеристиками руху тіла будуть:
.
З цих умов диференціальними рівняннями руху точки є:
.
Cкоротивши ліві і праві частини наведених рівнянь на , дістанемо:
.
Проінтегруємо перше з цих рівнянь:
.
Оскільки . Тобто проекція швидкості на вісь Х є величина сталою під час руху точки. Оскільки в початковий момент часу
, то . Врахувавши це отримаємо: , звідки . Для початкового моменту часу .
Отже, розв’язок першого диференціального рівняння – це .
З другого диференціального рівняння знаходимо .
. Проінтегрувавши останнє рівняння, отримаємо
.З початкових умов випливає, що . Тоді розв’язок другого диференціального рівняння має вигляд: .
Проінтегрувавши третє рівняння , дістанемо: . Константу визначаємо з початкових умов. При , . Отже, . Проінтегруємо отримане рівняння: . З початкових умов при /
Розвязком третього диференціального рівняння є:
.
Отже, кінематичні рівняння руху точки в параметричній формі такі:
, , .
Модуль вектора переміщення .
Виключивши з цих рівнянь параметр знайдемо рівняння траєкторії даної матеріальної точки в координатах:
.
Згідно з цим рівнянням матеріальна точка, кинута під кутом до горизонту, на яку діє лише сила земного тяжіння, рухається по параболі.
Задача 7.
Людина масою зістрибнула з човна масою у бік, протилежний до напрямку його руху. Швидкість руху людини відносно води при цьому почала дорівнювати нулю. Визначити швидкість руху човна після того, як людина зістрибнула з нього, якщо до цього вона становила .
Дано:
Розв'язування.
За законом збереження імпульсу
.
Оскільки , то , звідки
.
Згідно з останнім виразом напрямок швидкості такий самий, як і швидкості .
Знайдемо величину швидкості :
.
Відповідь:.
Задача 8.
Тіло кинуто з висоти в горизонтальному напрямі з швидкістю . Визначити, як залежать від часу координати тіла та його повна швидкість і визначити їх для моменту часу . Вивести рівняння траєкторії.
Дано:
Розв'язування.
Візьмемо систему координат ХОУ (рис.1.), початок якої розміщений на поверхні землі, вісь ОХ спрямована вздовж цієї поверхні в сторону початкової швидкості, а вісь ОУ – вертикально вгору і проходить через точку А, з якої кинуто тіло. Рух тіла можна уявити як суму рівномірного руху з швидкістю в горизонтальному напрямі і рівноприскореного руху без початкової швидкості у вертикальному напрямі з прискоренням , напрямленим вниз. Складові швидкості по осях координат у цьому разі
(1)
, (2)
повна швидкість
(3)
У формулу (3) підставляємо числові значення:
.
Закони руху для координат
, (4)
(5)
У формулу (4) і (5) підставляємо числові значення:
, .
Виключивши з виразів (4) і (5) час , дістанемо рівняння траєкторії:
. (6)
Це є рівняння параболи.
Задача 9.
Моторний човен першу половину шляху рухався по озеру зі сталою швидкістю 36км/год, а другу – зі швидкістю 18км/год. Чому дорівнює середня швидкість моторного човна на всьому шляху?
Розв’язання:
Дано:
|
|
Середню швидкість човна на всьому шляху визначимо за формулою: , для першої половини - , для другої - . Підставимо значення у формулу для і, врахувавши , отримаємо:
.
Зробивши обчислення, отримаємо:
.
Відповідь: .
Задача 10.
Яку силу слід прикласти, щоб рівномірно тягнути сани вагою в 50кг, якщо мотузка утворює з горизонтом кут 300, а коефіцієнт тертя полозів об сніг ?
Розв’язання:
Дано: m = 50кг |
На сани діють такі сили: сила тяги , напрямлена вздовж мотузки; сила тяжіння , напрямлена вертикально вниз; сила тертя , напрямлена в бік |