Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Кафедра ІнІТКІ

Лабораторна робота №4-2

на тему:

«Вивчення законів коливання математичного маятника»

Виконав:

ст. гр. 1-ПЗ-06

Данилюк А.М.

Перевірив:

Зюзяк П.М.

Вінниця 2007

Мета роботи: вивчити закони гармонічних коливань математичного маят­ника та переконатись в їх справедливості шляхом співставлення періодів коливань, одержаних експериментальне і те­оретичними розрахунками.

Прилади і матеріали: установка для визначення періоду коливань з допо­могою фотоелектричного датчика і універсального мілісекундоміра, математичний маятник, набір ван­тажів.

Теоретичні відомості

Для підготовки виконання цієї роботи використати теоретичні відомості лабораторної роботи № 4-1 "Фізичний маятник".

Як відомо, математичним маятником назива­ється матеріальна точка, чи тіло, розмірами якого можна знехтувати, підвішені на нерозтяжній і не­вагомій нитці, при малих кутах відхилення (див. рис.1) від положення рівноваги, які не перевищу­ють 7 - 8°, маятник - здійснює гармонічні коли­вання. У цьому випадку період коливань визна­чається за формулою:

(1)

де - довжина маятника,

- прискорення вільного падіння.

Падіння тіл на Землі - одне з проявлень закону

Рис.1 всесвітнього тяжіння, за яким сила взаємодії двох матеріальних точок масою та на від­далі R одна від одної визначається за формулою:

, (2)

де - гравітаційна стала.

Під дією сили притягання до Землі всі тіла падають з однаковим відно­сно поверхні Землі прискоренням g. Це означає, що в системі відліку, зв'язаною з Землею, на всяке тіло масою т діє сила:

. (3)

У даному випадку цю систему відліку ми вважаємо інерційною. На основі закону всесвітнього тяжіння прискорення вільного падіння повинно бути рівним

(4)

де М = 5,96 • 10²⁴ кг - маса Землі,

R - радіус Землі в даному місці.

Визначення величини прискорення вільного падіння дало можливість

вирахувати масу Землі, а також її середню густину ( =- 5,5 • 10 кг/м³).

За законом тяжіння з віддаленням від Землі прискорення зменшується за формулою:

(5)

де = 6,37 • 10 м - середній радіус Землі,

= 9,81 м/с²" нормальне (стандартне) прискорення.

При вивченні руху тіл відносно земної поверхні необхідно врахувати, що Земля здійснює добове обертання навколо власної осі з кутовою швид­кістю ш. Тому необхідно ввести відцентрову силу інерції:

, (6)

де т - маса тіла,

r — віддаль тіла від земної осі (рис.2).

Обмежуючись випадками, коли висота тіл над поверхнею Землі невели­ка, можна покласти r = Rcos<p, тому вираз для сили інерції набуде вигля­ду:

, (7)

де - географічна широта.

Рис.2

Отже, прискорення вільного падіння тіл відносно Землі обумовлене ді­єю двох сил: гравітаційної сили і сили інерції . Результуюча цих

двох сил (див. рис.2) називається силою тяжіння і для тіл в інерціальних відносно Землі системах відліку співпадає з Їх вагою. Величину сили тяжіння (ваги тіла) знайдено за теоремою косинусів:

. (8)

Але вага тіла Р мало відрізняється від сили притягання, тому що відцентрова сила інерції значно менша. Тому й кут р між напрямками сил і Р досить малий, його можна оцінити , скориставшись теоремою синусів , звідки одержується співвідношення:

, (9)

де - географічна широта,

- кут відхилення ваги тіла від вертикалі в радіанах.

Аналізуючи формулу (8) та враховуючи (2), (5), (7), бачимо, що вага ті­ла, а також відповідно прискорення вільного падіння мають досить склад­ну залежність від кількох параметрів. Тому здебільшого для технічних роз­рахунків та для визначення зміни прискорення вільного падіння при відда­ленні від поверхні Землі користуються наближеною формулою (5), а для знаходження числового значення прискорення g на незначних висотах h (в м) над рівнем моря в залежності від географічної широти використо­вують більш точну, але також наближену формулу:

, (10)

яка була запропонована Міжнародним геодезичним конгресом в 1930 році.

Експериментальне числове значення g можна визначити при вивчен­ні коливань фізичного чи математичного маятників.