Алгебра логики

В алгебре логики используются переменные, которые могут иметь только два значения: истина и ложь.

Логические операции

В алгебре логики используются следующие логические операции:

1. Операция «И», логическое умножение, называется конъюнкция, обозначается следующим образом:

   1. A*B (где А и В - переменные) или АВ (знак умножения можно опускать)

   2. АВ

   3. А AND В (в программах)

Данная операция истинна, если все аргументы, участвующие в ней истинны, во всех остальных случаях она – ложна.

2. Операция «ИЛИ», логическое сложение, называется дизъюнкция, обозначается следующим образом:

   1. А+В (где А и В - переменные)

   2. А  В

   3. А OR В (в программах)

Данная операция ложна, если все аргументы, участвующие в ней ложны, во всех остальных случаях она – истинна.

3. Операция «НЕ», логическое отрицание, обозначается следующим образом:

__

1. А

2. ¬А

3. NOT A (в программах).

Если А – истинно, то ¬А – ложно, а если А – ложно, то ¬А – истинно.

4. Операция «импликация», обозначается следующим образом:

   1. АВ

   2. А IMP В (в программах).

Данная операция ложна, если первый аргумент (А) – истинный, а второй аргумент (В) – ложный. В остальных случаях данная операция – истинна.

5. Операция «эквиваленция», обозначается следующим образом:

   1. А  В

   2. АВ

   3. А=В

   4. А↔В

   5. А EQV В (в программах).

Данная операция истинна, если оба аргумента А и В – одинаковые (оба истинные или оба ложные). В остальных случаях данная операция ложна.

6. Операция «исключающее ИЛИ», обозначается следующим образом:

   1. А  В

   2. А XOR В (в программах).

Данная операция ложна, если все аргументы, участвующие в ней ложны, либо все аргументы, участвующие в ней истинны, во всех остальных случаях она – истинна.

Приоритеты логических операций

Если в одном логическом выражении имеется несколько логических операций, то они выполняются в следующей последовательности:

1. Операции в скобках

2. Операция «НЕ»

3. Операция «И»

4. Операция «ИЛИ», операция «исключающее ИЛИ» - имеют одинаковый приоритет

5. Операция «импликация»

6. Операция «эквиваленция»

Таблицы истинности

Таблицы истинности применяются для вычисления логических выражений при всевозможных сочетаниях значений входящих в выражение аргументов. Значениями логических выражений и входящих в них переменных могут быть истина (1) или ложь (0). Количество всевозможных сочетаний значений входящих в выражение аргументов (переменных) определяется по формуле 2^к, где к – количество переменных, входящих в выражение. Сами сочетания можно определить следующим образом: общее количество сочетаний делится пополам, в первой половине для всех переменных устанавливаются значения 0 (ложь), а во второй половине для всех переменных устанавливаются значения 1 (истина). Затем каждая из этих половинок опять делится пополам и опять, в первой половине для всех переменных устанавливаются значения 0, а во второй половине для всех переменных устанавливаются значения 1. Затем опять каждая из полученных половинок делится пополам и опять, в первой половине для всех переменных устанавливаются значения 0, а во второй половине для всех переменных устанавливаются значения 1, т.д. Это производится до тех пор, пока в половинках не окажется по одной переменной, для первой из них устанавливаем значение 0, а для второй – 1.

Если при всех сочетаниях значений переменных, входящих в логическое выражение, значение этого выражения всегда 1, то такое выражение называется тождественно-истинным.

Если при всех сочетаниях значений переменных, входящих в логическое выражение значение этого выражения всегда 0, то такое выражение называется тождественно-ложным.

Если при всех сочетаниях значений переменных, входящих в логическое выражение значение этого выражения может быть равно 0 или 1, то такое выражение называется нейтральным или выполнимым.

Пример 1

Дано логическое выражение: F=((C+B) B)*(A*B) B. Построить для него таблицу истинности и определить тип логического выражения. Выражение может быть тождественно-истинным, тождественно-ложным или нейтральным.

Решение

В данном выражении 3 переменных (A,B,C), поэтому количество сочетаний значений этих переменных равно 2³=8.

Проставляем приоритеты (последовательность выполнения) логических операций:

1. C+B

2. (C+B) B

3. A*B

4. ((C+B) B))*(A*B)

5. F = ((C+B) B)*(A*B) B

Заполняем таблицу истинности в соответствии с указанными приоритетами и определениями логических операций:

A	B	C	C+B	(C+B) B	A*B	((C+B) B))*(A*B)	F
0	0	0	0	1	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	1	1	0	0	1
0	1	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	0	1
1	0	1	1	0	0	0	1
1	1	0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Так как при всех возможных сочетаниях значений переменных, входящих в данное логическое выражение, значение логического выражения равно 1,то это означает, что данное логическое выражение является тождественно-истинным.

Пример 2

Дано логическое выражение: F=A+B*CAB+C. Построить для него таблицу истинности и определить тип логического выражения.

Решение

В данном выражении 3 переменных (A,B,C), поэтому количество сочетаний значений этих переменных равно 2³=8.

Проставляем приоритеты (последовательность выполнения) логических операций:

1. B*C

2. A+B*C

3. B+C

4. A+B*CA

5. F = A+B*CAB+C

Заполняем таблицу истинности в соответствии с указанными приоритетами и определениями логических операций:

A	B	C	B*C	A+B*C	B+C	A+B*CA	F
0	0	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	1	1	1
0	1	0	0	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1	0	0
1	0	0	0	1	0	1	0
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Так как при всех возможных сочетаниях значений переменных, входящих в данное логическое выражение, значение логического выражения равно 1 или 0, то это означает, что данное логическое выражение является нейтральным.