Методички по лабам(физика) / lab6
.pdf
Цель работы: изучение упругих деформаций.
Задача: определение модуля Юнга стального стержня.
Приборы и принадлежности: стойки с опорными призмами, испытуемый стержень, набор грузов, измерительный микроскоп, миллиметровая линейка, микрометр.
ВВЕДЕНИЕ
При механическом воздействии тела изменяют свои размеры и форму, то есть деформируются. Одним из видов деформации тела являются упругие деформации (растяжение – сжатие, сдвиг, кручение, изгиб), которые могут быть сведены к двум основным: растяжению – сжатию и сдвигу.
Рассмотрим случай упругого растяжения прямолинейного стержня под действием силы F. В результате длина стержня l увеличивается на величину l, называемую абсолютной деформацией. Величиной, характеризующей деформацию стержня, принято считать относительную деформацию:
ε ll .
Физическая величина, численно равная упругой силе dFупр , действующей
перпендикулярно, на единицу площади сечения dS тела, называется нормальным напряжением:
σ dFупр .
dS
Р. Гук экспериментально установил, что при растяжении стержня его относительная деформация пропорциональна приложенному напряжению:
ε |
|
l |
k σ |
F |
, |
(1) |
l |
|
E S |
||||
|
|
|
|
|
где k – коэффициент упругости, зависящий от свойства материала. Величина Е = 1/k, обратная коэффициенту упругости, называется модулем упругости, или модулем Юнга. Выясним физический смысл модуля Юнга. В выражении (1) предположим l = l, тогда Е = σ. Следовательно, модуль Юнга численно равен нормальному напряжению, которое возникло бы в образце при увеличении его длины в два раза, при условии, что для этих деформаций выполняется закон Гука. На практике большинство материалов не выдерживают напряжений, соответствующих ε = 1, и разрушаются. Область упругих деформаций составляет 0,1 – 0,2 %.
3
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ |
|||
Одним из методов определения модуля Юнга является метод изгиба |
|||
стержня прямоугольной формы длиной L, положенного обоими концами |
|||
на опорные стальные призмы ВВ и нагруженного в середине внешней си- |
|||
|
|
лой F (рис. 1). При такой деформации |
|
|
L |
верхние слои стержня сжимаются, нижние |
|
|
растягиваются, а средний слой, называе- |
||
|
|
||
|
С |
мый нейтральным, сохраняет свою длину |
|
|
λ |
и претерпевает искривление. Перемеще- |
|
В |
В |
ние λ, которое получает нейтральный слой |
|
|
F |
стержня, называется стрелой прогиба. |
|
Рис. 1. Схематическое изобра- |
Зная стрелу прогиба, можно определить |
||
модуль Юнга. Рассмотрим элемент длины |
|||
|
жение стержня, дефор- |
||
|
стержня dx, который находится на рассто- |
||
|
мированного внешней |
||
|
янии х от конца стержня, поперечное се- |
||
|
силой F |
||
|
чение которого характеризуется высотой b |
||
|
|
||
и шириной а (рис. 2). Согласно закону Гука, сила dF, вызывающая удлине- |
|||
ние dl произвольно выбранного слоя стержня высотой dy, равна |
|||
dF |
E dS dl |
|
2E h y a dy |
, |
(2) |
|
dx |
dx b |
|||||
|
|
|
|
где Е – модуль Юнга; dS = a · dy – площадь сечения растягиваемого слоя; у – расстояние от нейтрального слоя до слоя высотой dy, величина
h |
b |
d φ |
(3) |
|
|||
2 |
|
|
|
определяет положение поперечного сечения стержня до и после деформации, угол d φ является мерой изгиба.
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dx |
|
x |
h |
|
/ |
|
|
|
||
|
|
|
|
О |
|
|
dφ |
|
|
dλ |
|
db |
|
a |
|
|
dφ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
b |
|
|
|
|
Рис. 2. Элемент длины стержня dx, подвергнутый деформации
4
При деформации изгиба любое сечение стержня вращается вокруг оси, проходящей через нейтральный слой ОО/. Тогда общий момент вращения, вызванный упругими силами в поперечном сечении стержня, будет равен
|
b / 2 |
E a h b2 |
|
|
М |
у dF |
|
. |
(4) |
|
||||
|
b / 2 |
6dx |
|
|
|
|
|
|
|
В случае равновесия этот вращающий момент равняется моменту вращения внешней силы:
М |
E a h b2 |
|
F |
x , |
(5) |
|
6dx |
2 |
|||||
|
|
|
|
где F/2 – внешняя сила, вызывающая изгиб одного из концов стержня (сила F распределяется между опорами поровну).
Элемент стрелы прогиба dλ может быть представлен (см. рис. 2) как
dλ = х · dφ. |
(6) |
Подставляя величины dφ и h из уравнений (3), (5) в выражение (6) и интегрируя его в пределах от 0 до L/2, получаем
λ |
F L3 |
|
|
, |
|
4E a b3 |
||
Откуда имеем |
|
|
|
Е |
|
где F m g , |
(7) |
|
m g L3 |
|
|
|
, |
(8) |
|
||
4a b3λ |
|
|
Последнее выражение позволяет рассчитать модуль Юнга, так как все величины доступны измерению.
Экспериментально стрела прогиба может быть определена с помощью измерительного микроскопа МИР-1М, который снабжен окулярным микрометром. Цена деления микрометра зависит от длины тубуса микроскопа. При выполнении работы рекомендуется установить длину тубуса 160 мм, соответствующая цена деления шкалы микроскопа – 0,045 мм.
ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
1.Составляют таблицу, в которую заносят результаты измерений и вычислений.
2.Измеряют микрометром ширину а, толщину b стержня в разных местах.
3.Испытуемый стержень располагают на опорных призмах и измеряют его длину между ребрами призм.
5
4.Измерительный микроскоп размещают на уровне стержня и добиваются отчетливой видимости его ребра. Шкалу окулярного микрометра устанавливают вертикально.
5.Стремя, находящееся на середине стержня, нагружают грузом массой m = 500 г. По шкале микроскопа измеряют стрелу прогиба. Опыт повторяют 3 – 5 раз.
6.Обрабатывают прямые измерения величин. Если разброс в значении стрелы прогиба λ не превышает двух делений шкалы микроскопа, то λ обрабатывают как однократные измерения. Погрешность измерения берется равной цене деления шкалы микроскопа.
Таблица результатов измерений
№ опыта, |
|
|
|
|
|
||||
результаты |
m, г |
l, мм |
а, мм |
b, мм |
λ, мм |
||||
погрешностей |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
ε, % |
|
|
|
|
|
||||
7.Вычисляют среднее значение модуля Юнга по формуле (8) в единицах СИ
Е m g L3 . 4a b 3 λ
где m – среднее значение массы груза; g – среднее значение земного ускорения; L , a , b – средняя длина, ширина, толщина стержня со-
ответственно; λ – среднее значение стрелы прогиба.
Определяют абсолютные и относительные ошибки измерений х и ε.
Окончательный результат измерения модуля Юнга представляют в СИ в виде
ЕЕ Е
8.Проверяют закон Гука: измеряют стрелу прогиба λ при нагрузке массой 100, 200, 300, ..., 600 г и строят график зависимости λ f (F) .
6
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Объяснить механизм упругой и неупругой деформации.
2.Пояснить физический смысл модуля Юнга.
3.Сформулировать закон Гука для деформации растяжения.
4.Объяснить, что такое предел упругости.
5.Что понимают под стрелой прогиба.
6.Какова область действия упругих деформаций?
7.Объяснить расхождение теории и эксперимента в области упругих деформаций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М. : Высш. шк.,
2002. – 542 с.
2.Савельев И. В. Курс общей физики : в 3 т. / И. В. Савельев. – М. :
Наука, 1989. – Т. 1. С. 173.
3.Майсова Н. Н. Практикум по курсу общей физики / Н. Н. Майсова. –
М. : Высш. шк., 1970. С. 78.
7