Методички по лабам(физика) / lab6a
.pdf
Цель работы: изучить упругие деформации.
Задача: определить модуль Юнга стального стержня переменного сечения.
Приборы и принадлежности: прибор ФПЗА, индикатор, линейка, набор грузов 1 ÷ 10 кг, штангенциркуль.
ВВЕДЕНИЕ
При внешнем механическом воздействии тела изменяют свои размеры и форму, то есть деформируются. Одним из видов деформации тела являются упругие деформации (растяжение – сжатие, изгиб, сдвиг, кручение), которые могут быть сведены к двум основным: растяжению – сжатию и сдвигу.
Согласно закону, экспериментально установленному Р. Гуком, почти у всех твердых тел при малых упругих деформациях величина деформации пропорциональна вызывающей ее силе. Так, при растяжении стержня его относительная деформация ε пропорциональна приложенному напряжению σ:
|
l |
k |
1 |
|
F |
. |
(1) |
|
|
|
|||||
|
l |
|
Е |
|
S |
|
|
где FS ; F – упругая сила, действующая перпендикулярно площади се-
чения тела S; l – длина стержня; l – абсолютная деформация стержня; k –
коэффициент упругости, зависящий от свойств материала; E 1k – называ-
ется модулем Юнга или модулем упругости.
Выясним физический смысл модуля Юнга. В выражении (1) предположим l/l = 1, тогда Е = σ. Следовательно, модуль Юнга численно равен нормальному напряжению, которое возникло бы в стержне при увеличении его длины в два раза. На практике большинство материалов не выдерживают напряжений, соответствующих ε = 1, и разрушаются. При больших деформациях закон Гука нарушается и деформации становятся пластичными.
3
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ
Одним из методов определения модуля Юнга является метод изгиба стержня. Если один конец упругого стержня неподвижно закрепить, а на другой конец подействовать силой Р, то стержень изогнется. При таком изгибе верхние слои стержня растягиваются, нижние сжимаются. Тогда средний слой, не претерпевающий деформации, является нейтральным слоем. Перемещение λ, которое испытывает свободный конец стержня, называется стрелой прогиба.
В данной работе используется балка равного напряжения, представляющая собой стержень переменного сечения одной высоты (рис. 1).
Р
Рис. 1. Балка равного напряжения
Рассмотрим поперечное сечение стержня высотой b и шириной a = f(x), которое находится на расстоянии х от свободного конца стержня (рис. 2). Элемент длины стержня dx непосредственно примыкает к поперечному сечению.
|
|
|
dy |
|
|
dx |
|
z |
|
|
/ |
|
|
|
О |
x |
|
|
dS |
|
|
|
|
dλ |
|
|
a |
dl |
dφ |
y |
|
|
|
|
|
О |
|
b |
О |
|
|
S |
|
I |
II |
|
|
Рис. 2. Элемент длины стержня
4
Через I обозначено положение сечения стержня до изгиба; II – после изгиба; ОО/ – нейтральный слой. Найдем удлинение dl, которое испытывает произвольно выбранный слой стержня высотой dy, находящийся на расстоянии у от нейтрального слоя. Из рис. 2 видно, что
dl |
|
y |
или |
dl |
2d z y |
. |
(2) |
|
|
|
|||||
d z |
|
b / 2 |
|
|
b |
|
|
Согласно закону Гука удлинение dl вызывается силой dF, действующей на элементарное сечение dS (см. рис. 2).
d F |
E d S dl |
, |
d S a(x) d y . |
|
||
|
|
|
||||
|
d x |
|
|
|
||
Теперь dF с учетом формулы (2) есть |
|
|
|
|||
|
d F |
E ad y 2d z y |
. |
(3) |
||
|
|
|||||
|
|
|
|
b d x |
|
|
Балку равного напряжения можно представить в виде трапеции. Тогда на основе подобия трапеций ширина любого сечения a(x) a0 (x / L) , где а0
– ширина основания балки в месте ее закрепления; х – расстояние от свободного конца стержня до данного сечения; L – длина балки. Теперь (3) можно записать так:
d F |
E a0 x 2 yd y dz |
. |
(4) |
|
При изгибе любое сечение стержня поворачивается вокруг оси, проходящей через нейтральный слой ОО/. Момент вращения, вызванный упругими силами в поперечном сечении стержня S (см. рис. 2), будет равен тогда
|
|
|
|
|
b / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
y d F , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b / 2 |
|
|
|
|
|
или с учетом (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2E a |
|
x dz b / 2 |
|
E a |
|
x b2 |
dz |
|
|
M |
|
0 |
|
y2 |
d y |
|
0 |
|
|
. |
L b d x |
6L d x |
|
||||||||
|
b / 2 |
|
|
|
||||||
При равновесии этот момент равен моменту внешней силы
M mgx, |
E a b2 |
dz |
mg , |
0 |
|
||
|
|
|
6L d x
где mg – сила, вызывающая изгиб стержня.
(5)
(6)
5
Элемент длины прогиба dλ можно представить (см. рис. 2) как
dλ = x dφ. |
(7) |
Угол dφ является мерой изгиба и определяется выражением |
dφ = dz/(b/2) |
(см. рис. 2). Выражая dz из (6) и подставляя его в dφ в формулу (7), получаем
d |
12 mg L |
x dx . |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
E a |
0 |
b3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя в пределах от 0 до (L – l), получаем : |
|
|||||||||
|
6 mg L (L l)2 |
|
, |
(8) |
||||||
|
E a |
0 |
b3 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где l – расстояние от точки приложения силы Р до точки, в которой определяется стрела прогиба λ.
Из выражения (8) имеем
Е |
6 mg L (L l)2 |
. |
(9) |
|||
|
||||||
|
a |
0 |
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее уравнение позволяет рассчитать модуль Юнга, так как все величины доступны измерению. Экспериментально стрела прогиба λ может быть определена с помощью индикатора часового типа, снабженного двумя шкалами: красной и черной. Одна шкала позволяет измерять λ при нагружении балки, другая при снятии нагрузки. Общий вид установки и индикатора представлен на рис. 3.
|
|
КС |
|
90 |
0 |
10 |
|
|
|
||
10 |
|
90 |
|
|
|
|
|
80 |
|
|
20 |
|
|
|
|
20 |
|
|
80 |
70 |
0,01 мм |
30 |
|
30 |
|
|
70 |
60 |
|
40 |
|
40 |
50 |
60 |
|
|
|
|
|
Рис. 3. Общий вид установки и индикатора
6
ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
1. Составляют таблицу, в которую заносят результаты измерений.
Номер опыта,
погрешность m, кг g, м/с2 L, мм b, мм а, мм l, мм , мм измерений
1
2
3
4
х
х
2.Измеряют штангенциркулем ширину основания стержня а0 в месте его закрепления, толщину стержня b.
3.Измеряют длину стержня L от места закрепления до точки приложения силы Р. Рекомендуется силу Р прикладывать в области перехода переменного сечения балки в постоянное.
4.Индикатор устанавливают вблизи действующей силы (5 ÷ 8 см от точки приложения силы) таким образом, чтобы контрольный столбик (КС) (см. рис. 3) полностью был поднят над корпусом индикатора.
5.Измеряют расстояние l от точки приложения силы до головки столбика индикатора КС.
6.Нагружают стержень грузом массой 5 кг. По шкале индикатора измеряют стрелу прогиба λ.
7.Обрабатывают прямые измерения величин. Если разброс в значении стрелы прогиба не превышает двух делений шкалы индикатора, λ обрабатывают как однократные измерения.
8.Вычисляют среднее значение модуля Юнга по формуле
Е 6mg L (L l )2 ,
a0b 3
7
где m – среднее значение массы груза; g – среднее значение ускорения свободного падения; L, a0 , b – средняя длина, ширина основа-
ния, высота стержня соответственно; l – среднее значение расстояния от точки приложения силы до головки столбика индикатора; – среднее значение стрелы прогиба при m = 5 кг.
Определяют абсолютные и относительные ошибки измерений Х
и .
9.Проверяют закон Гука: измеряют стрелу прогиба при нагрузке массой 1, 2, 3,… , 10 кг и строят график зависимости = f(Р).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Объяснить механизм упругой и неупругой деформации.
2.Сформулировать закон Гука для деформации растяжения.
3.Пояснить физический смысл модуля Юнга.
4.Объяснить диаграмму растяжения.
5.Что понимают под стрелой прогиба?
6.Объяснить, что такое предел упругости.
7.Какова область действия упругих деформаций?
8.Пояснить заполнение таблицы результатов измерений.
9.На проволоке l висит груз Р. Проволоку сложили вдвое и повесили тот же груз. Во сколько раз изменится абсолютное и относительное удлинения?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М. : Академия, 2005. – 226 с.
2.Савельев И. В. Курс общей физики : в 3 т. / И. В. Савельев. – М. :
Наука, 1989. – Т. 1. – С. 173.
3.Детлаф А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, В. М. Яворский. – М. :
Высш. шк., 2003. – 530 с.
8