Моделирование систем / lec10
.pdf
Сетевые модели (N-схемы)
Сетевые модели – дискретные описания систем на базе конечных (как правило) множеств и заданных на этих множествах отображениях
Математическая основа – различные типы графов
|
G V ,U |
Граф |
V – множество вершин, |
|
U – множество ребер |
Элементы U - это неупорядоченные пары элементов из V |
|
Ориентированный граф V – множество вершин, |
|
|
U – множество дуг |
Элементы U - это упорядоченные пары элементов из V |
|
Мультиграф |
V – множество вершин, |
|
U – мультимножество ребер (дуг) |
Гиперграф |
V – множество вершин, |
|
U – множество ребер |
Элементы U - это подмножества элементов из V
Сеть Петри
Графы специального вида, получившие название “Сети Петри” были впервые предложены Карлом Петри в 60-х годах для моделирования систем, которые содержат взаимодействующие и параллельно функционирующие компо-
ненты.
Карл Адам Петри (нем. Carl Adam Petri; 12 июля 1926 — 2 июля 2010)
— немецкий математик и исследователь в области информатики.
Он описал сети Петри в 1962 году в рамках диссертации.
«Kommunikation mit Automaten» (взаимодействие с автоматами).
Работал с 1959 по 1962 год в Боннском университете, в 1962 году получил степень доктора философии в Дармштадтском университете.
Труды Петри стали существенным вкладом в развитие параллельных и распределённых вычислений, способствовали исследованиям сложных систем и потоков работ.
Сеть Петри определяется как двудольный ориентированный мультиграф.
Все вершины графа относятся к одному из двух классов - позициям и переходам. V P T , P T О
Либо начало дуги совпадает с позицией и тогда конец этой дуги совпадает с переходом, либо наоборот.
C = (P, T, I, O).
P = {p1, p2, ... pn} – конечное множество позиций, T = {t1, t2, ... tm} – конечное множество переходов
I: T → P∞ |
- |
входная функция. |
O: T → P∞ |
- |
выходная функция |
Это отображения из множества переходов в множество объединений комплектов позиций. (Комплект - подмножество мультимножества, состоящее из одного или более одинаковых элементов.)
Кратность входной (выходной) позиции pi для перехода tj есть число появлений позиции во входном (выходном) комплекте перехода.
Позиции изображаются окружностями, переходы - отрезками прямой. Каждая дуга связывает вершины только разных классов.
P = (p1, p2, p3, p4, p5, p6) T = (t1, t2, t3, t4, t5)
I(t1) = (p1) |
O(t1) = (p2, p3) |
I(t2) = (p3) |
O(t2) = (p3, p5, p5) |
I(t3) = (p2, p3) |
O(t3) = (p2, p4) |
I(t4) = (p4, p5, p5, p5) |
O(t4) = (p4) |
I(t5) = (p2) |
O(t5) = (p6) |
Сеть Петри – это структурная схема – статическая модель системы.
Маркировка сети и срабатывание переходов
Эти понятия используются для описания функционирования системы.
Оригинальным понятием теории сетей Петри является понятие “фишка” (token). Фишки (маркеры) изображаются точками, расположенными внутри позиций.
Каждой позиции сети ставится в соответствие неотрицательное целое число, указывающее количество фишек в данной позиция, а совокупность таких чисел для всех позиций сети называется маркировкой (разметкой) сети.
Маркировка µ - функция, отображающая множество позиций в множество неотрицательных целых чисел N:
µ: P N.
Маркировка µ может быть также определена как вектор
µ = (µ1, µ2, µ3, ..., µn),
где n = |P| и каждое µi N, i =1, 2, ..., n. µ(pi) = µi. Маркированная сеть Петри М = (С, µ)
Срабатывание перехода состоит в изъятии фишек из каждой его входной позиции и помещении их в каждую его выходную позицию. Количество изымаемых или помещаемых фишек равно количеству дуг, соединяющих срабатывающий переход с данной позицией.
Условие срабатывания перехода - количество фишек в каждой входной позиции перехода не меньше количества дуг, соединяющих эту позицию с переходом.
Начальная или стартовая разметка - разметка сети до срабатывания любого перехода.
При срабатывании того или иного перехода разметка сети меняется. Последовательное срабатывание переходов и соответствующее изменение разметки сети называется функционированием сети.
Завершение процесса функционирования приводит сеть к разметке, называемой конечной.
Пространство состояний сети Петри
Состояние сети Петри определяется её маркировкой. Пространство состояний сети, обладающей n позициями, есть множество всех маркировок, то есть N n .
Изменение в состоянии, вызванное запуском перехода, определяется функцией δ, называемой функцией следующего состояния.
Применение этой функции к маркировке µ и переходу tj, образует новую маркировку, которая получается при запуске tj в маркировке µ.
Если tj разрешен, то δ(µ, tj) = µ’, где µ’ - маркировка, полученная в результате удаления фишек из входов tj и добавлением фишек в выходы tj, иначе функция δ(µ, tj) не определена.
Для сети Петри с маркировкой µ маркировка µ’ называется непосредственно достижимой из µ, если существует переход tj T, такой, что δ (µ, tj) = µ’.
Множество достижимости R(C, µ) сети Петри с маркировкой µ - множество всех маркировок, достижимых из µ.
Маркировка µ’ принадлежит R(C, µ), если существует какая-либо последовательность запуска переходов, изменяющих µ на µ’.