Системи масового обслуговування

Кожна система масового обслуговування (СМО) включає у свою структуру деяке число обслуговуючих пристроїв, називаних каналами обслуговування (до їх числа можна віднести осіб, що виконують ті чи інші операції, - касирів, операторів, менеджерів, і т.п.), що обслуговують деякий потік заявок (вимог), що надходять на її вхід у випадкові моменти часу.

Обслуговування заявок відбувається за невідомий, звичайно випадковий час і залежить від безлічі найрізноманітніших факторів.

Після обслуговування заявки канал звільняється і готовий до прийому наступної заявки.

Випадковий характер потоку заявок і часу їхнього обслуговування приводить до нерівномірності завантаження СМО – перевантаженню з утворенням черг, або недовантаженню – із простоюванням її каналів.

У залежності від сукупності специфічних факторів, СМО можна класифікувати в такий спосіб:

а) по характері потоків:

- пуасонвський;

- не пуасонівський;

б) по числу каналів;

- одноканальні;

- багатоканальні;

в) по дисципліні обслуговування:

- СМО з відмовленнями;

- СМО з чеканням;

- СМО змішаного типу;

г) по обмеженню потоку заявок:

- замкнуті;

- відкриті;

д) по кількості етапів обслуговування:

- однофазні СМО;

- багатофазні СМО.

Ефективність функціонування СМО характеризують три основні групи показників:

1. ефективність використанняСМО – абсолютна чи відносна пропускні здібності, середня тривалість періоду зайнятості СМО, коефіцієнт використання СМО;

2. якість обслуговування заявок – середній час (середнє число заявок. закон розподілу) чекання заявки в черзі або перебування заявки в СМО; імовірність відмовлення заявці в обслуговуванні без чекання; імовірність того, що заявка, що надійшла, негайно прийметься до виконання;

3. ефективність функціонування пари «СМО - споживач», причому під споживачем розуміється сукупність заявок або їхнє деяке джерело (наприклад, середній доход, принесений СМО за одиницю часу експлуатації, і ін.).

Приклад рішення задачі

У філії банку постійно працюють 3 оператори. Якщо клієнт заходить у банк, коли всі оператори зайняті, то він відразу іде, не очікуючи обслуговування. Середнє число клієнтів, що звертаються в банк за 1 ч., складає 12 чол. Середній час, затрачуваний оператором на обслуговування одного клієнта, складає 16 хв. Тривалість робочого дня 8 годин.

Визначити основні характеристики ефективності функціонування даної філії банку, за умови:

- роботи трьох операторів;

- збільшення кількості операторів до чотирьох.

Зробити висновки, дати обґрунтування доцільності необхідності збільшення кількості операторів за умови, що обслуговування одного клієнта в середньому приносить прибуток 37 гр. од., а створення додаткового каналу обслуговування вимагає витрат у сумі 470 гр. од./день.

Рішення.

Оскільки клієнт у випадку зайнятості всіх операторів залишає банк не очікуючи обслуговування - то дана СМО – СМО з відмовленнями.

Характеристики ефективності функціонування багатоканальної СМО з відмовленнями приведені в табл. 7.

Таблиця.7

Розрахунок характеристик ефективності функціонування багатоканальної СМО з відмовленнями

Характеристика	Формула для розрахунку	Розрахунок
Інтенсивність обслуговування		чол/годину
Показник напруженості обслуговування
Імовірність того, що всі канали вільні
Імовірність того, що в системі присутні n вимог
Імовірність відмовлення
Середнє число зайнятих каналів
Середнє число вільних каналів
Коефіцієнт зайнятості
Коефіцієнт простою
Математичне чекання можливих втрат від відмовлення обслуговування заявки		гр. од./годину

Прийняті умовні позначки

λ	Інтенсивність потоку вимог
μ	Інтенсивність обслуговування
α	Показник напруженості обслуговування
k	Кількість каналів
n	Кількість заявок у системі
pn	Імовірність n-oго стану системи
p0	Імовірність простоювання всієї системи, тобто імовірність того, що всі канали вільні
Nz	Середнє число зайнятих каналів
N0	Середнє число вільних каналів
Mп	Математичне чекання можливих утрат від відмовлення обслуговування заявки
Mпр	Математичне чекання можливих утрат від простою каналу
З	Витрати на зміст 1 каналу в одиницю часу
R	Середній доход від обслуговування однієї заявки
0!=1

Результати:

Імовірність того, що всі канали вільні, складає 0,068.

Імовірність того, що в системі мається одна вимога, складає 0,216; дві вимоги – 0,346; три вимоги – 0,369.

Відповідно, імовірність відмовлення складає 0,369.

Середнє число зайнятих каналів у даних умовах 2,018, тобто в середньому в системі зайнято два оператори.

Відповідно коефіцієнт зайнятості складає 67,3%

Середнє число вільних каналів – 0,982, тобто в середньому в системі вільний один оператор.

Коефіцієнт простою, відповідно, складає 32,7%

Математичне чекання можливих утрат від відмовлення обслуговування заявки – 163,84 гр.од/годину, тобто середній очікуваний рівень утрат від відмовлення обслуговування клієнтів даної СМО.

Оскільки імовірність того, що всі канали зайняті досить низька, необхідність створення додаткового каналу обслуговування, тобто устаткування додаткового робочого місця оператора, незначна.

Однак для кількісного обґрунтування даного рішення необхідно розрахувати математичне чекання можливих утрат, від простою каналу, у випадку створення додаткового каналу обслуговування.

Обґрунтування доцільності збільшення кількості операторів.

У даній постановці задачі кількість каналів обслуговування k=4:

Імовірність того, що всі канали вільні

=0,052

Доцільність обладнання додаткового каналу обслуговування можна оцінити, порівнявши збитки, пов'язані з утратою клієнтів, і витрати на створення й обслуговування такого каналу.

Так, у триканальній СМО збиток від утрати клієнта складає 21,75 гр.од., а в четирьохканальній:

Імовірність відмовлення
Математичне чекання можливих утрат від відмовлення обслуговування заявки		гр.од/годину

Таким чином, створення додаткового каналу обслуговування дозволить скоротити збитки від відмовлення в обслуговуванні на гр.од/годину. Тоді як устаткування додаткового робочого місця оператора зажадає додаткових витрат у розмірігр.од/годину.

Отже, порівняння всіх розрахованих величин дозволяє зробити висновок про недоцільність збільшення кількості робочих місць операторів.