Прохождение частицы за потенциальный барьер. Туннельный эффект.
|
|
|
|
|
|
0при |
|
x0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U x |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 при |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
На барьер налетает частица c энергией E |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Это волна де Бройля: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x,t |
|
|
|
kx t |
|
|
|
|
|
|
|
|
a exp i |
|
||||
Существуют волны: падающая; |
|
отраженная; |
прошедшая |
|||||||||
Для этих волн:
Задача сводится к рассмотрению поведения
E
h
xфункции
и определению коэффициентов R отражения и пропускания D.
1
Коэффициенты отражения и прохождения (Ф-поток): R |
|
Фотр |
; |
D |
Фпрош |
; |
||||||||||||||||||
|
Ф |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|||||
|
Ф |
|
|
I |
|
S |
|
k |
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
пад |
|
|
пад |
||||
|
отр |
отр |
|
отр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R |
отр |
|
|
|
|
|
|
|
отр |
|
|
|
|
|
|
|
|
m hk |
||||||
Фпад |
пад I пад S |
kпад |
|
Aпад2 |
использовали соотношение |
|
||||||||||||||||||
Амплитуды находим используя уравнение Шредингера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2m E U0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x k 0 где |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем решение данного уравнения для двух интервалов:
|
|
|
|
x 0 a1eik1x b1e ik1x , |
k1 2mE / h |
|
x 0 a2eik2 x b2e ik2 x , |
k2 2m E U0 / h |
В области I) существуют две волны распространяющиеся в разные стороны: падающая с амплитудой a1 и отраженная с амплитудой b1
В области II) - одна волна прошедшая через барьер с амплитудой a2 . Амплитуда волны направленной в другую сторону, т.е.
2
Условие неразрывности: |
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
a b a |
|
Решаем |
1 |
|
|
|
1 1 2 |
|
||||||
|
1 |
0 |
2 |
|
0 |
a1k1 b1k 1 k2a2 |
|
систему |
|||
Условие гладкости: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
k1 k2 |
; |
a2 |
|
|
2k1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
k k |
2 |
|
|
a |
1 |
|
k |
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
k1 k2 |
2 |
|
|
|
|
4k1k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Случай 1) |
E>U0 |
R |
|
; |
D |
; |
R D 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k1 k2 |
|
142 43 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
k1 k2 |
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Случай 2) |
E<U0 |
Математические выражения те же, но k2 - мнимое |
|
k2 |
i k |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k k |
|
|
2 |
|
k1 ik |
k1 |
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
R |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k1 ik |
k1 |
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
k1 k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Коэффициент прохождения не имеет физического смысла - мнимая величина, из ( ) он равен нулю.
3
Вероятность нахождения частицы за барьером не равна нулю, т.к.:
|
iik x |
|
x 0 a2eik2 x |
{ |
a2e kx |
a2e k2 |
||
но побывав за барьером частица все равно возвращается. |
|
|
Плотность вероятности нахождения частицы за барьером равна:
P x 0 a22e 2kx P 0 e 2kx
т.е. убывает экспоненциально.
Глубину проникновения определяют как расстояние на котором вероятность нахождения частицы уменьшается в e – раз:
P 0 |
1 |
|
2kx |
|
|
1 |
|
h |
|
e |
e |
|
|
l |
|
|
|
P x |
|
2k |
8m U0 E |
Если пространственные размеры потенциального барьера меньше l возникает туннельный эффект
4
Туннельный эффект –
явление прохождения частицы через потенциальный барьер
Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента
прозрачности (коэффициента прохождения) через вероятность нахождения частицы за потенциальным барьером.
Для прямоугольного барьера: |
|
2l |
D D exp |
|
|
0 |
|
h |
|
|
|
|
|
2 x2 |
Для барьера произвольной формы: |
|
|
|
D D exp |
h x1 |
||
|
0 |
|
|
|
|
||
2m U0 E |
|
|
|
|
|
2m U |
|
E |
|
|
dx |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Туннельным эффектом объясняется:
холодная эмиссия электронов из металлов;
- распад; спонтанное деление ядер и т.д.
5
Положение электрона характеризуется вероятностью его обнаружения, т.е . в своем движении вокруг атома он "размазан" по всему объему, образуя электронное облако. Плотность (густота) облака характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома.
Квантовые числа.
Вероятность обнаружения электрона определяется пси-функцией, которая зависит от квантовых чисел:
Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число т характеризует ориентацию электронного пространстве.
6
Кроме того электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве, — спином.
Он рассматривается как внутреннее квантовое свойство микрочастицы,
как масса частицы, ее заряд и т.е. Электрон имеет еще и спин.
Принцип Паули. Заполнение электронных оболочек.
В класс. механике тело (частица) занимает состояние с наименьшей потенциальной энергией.
Атомы имеют оболочечную структуру. Оболочки определяются главным квантовым числом и в свою очередь могут подразделятся на подоболочки.
Электроны последовательно заполняют оболочки и подоболочки и имеют неодинаковую потенциальную энергию.
Принцип Паули – формулирует правило их заполнения электронами:
в атоме не может быть электронов с одинаковыми значениями всех четырех квантовых чисел: n, l, ml , ms
Каждый следующий электрон невозбужденного атома занимает самый глубокий (в отношении минимальной потенциальной энергии) из еще незаполненных уровней.
8
При бомбардировке электронами антикатода возникает рентгеновское спектры
Они бывают:
сплошные - обусловлены тормозным излучением электронов и не зависят от материала антикатода
линейчатые (характеристические) - возникают при повышении дальнейшем повышении напряжения, зависит от материала антикатода
Характеристические рентгеновские спектры
Спектры испускания
Особенности спектров испускания:
1.Простые и однотипные, с ростом атомного номера Z элемента монотонно смещаются в коротковолновую сторону.
2.Не меняются, если элемент находится в соединении с другими вывод: возникают при переходах электронов во внутренних частях атома
3.Состоят из нескольких серий:
9
Механизм возникновения - удаление электронов из внутренних оболочек
При удалении электрона из К-оболочки (n=1), то его место занимают электроны с более высоких уровней.
Их место занимают электроны с вышележащих уровней
Закон Мозли (1913) экспериментально установил закон - частота серии К зависит от атомного номера Z элемента как:
К |
3 R Z 2 |
R Z 2 |
1 |
|
1 |
|
R- постоянная Ридбергера (2,07 10-16 с-1); |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
4 |
2 |
|
2 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|||
- постоянная экранирования ядра электронами, для легких элементов 1; у тяжелых: олова (0,29), цезия (0,00 ), вольфрама (-2,1)
Общий вид |
К |
R Z 2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n1 |
|
n2 |
|
10 |
||