все для алгема / АГ-2 Преподавателям / АГ-2 ПЗ / Задачи ПЗ 38. Векторные подпространства

АГ – 2. ПЗ 38. Векторные подпространства.

1. Выяснить, является ли подпространством соответствующего векторного пространства каждое из следующих подмножеств векторов:

а) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в точке О;

б) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на данной прямой;

в) векторы плоскости с началом О, концы которых не лежат на данной прямой;

г) векторы координатной плоскости, концы которых лежат в первой четверти;

д) векторы пространства , координаты которых – целые числа;

е) векторы пространства , координаты которых удовлетворяют уравнению ;

ж) векторы пространства , являющимися линейными комбинациями данной системы векторов: ;

з) векторы, являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений;

и) векторы пространства , являющимися решениями данной системы линейных уравнений.

2. Доказать, что следующие совокупности векторов пространства образуют подпространства, и найти их базисы и размерности:

а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты;

б) векторы, у которых координаты с четными номерами равны 0;

в) векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой;

3. Выяснить, какие из следующих множеств матриц второго порядка над полем К образуют векторные пространства, найти их базисы и размерности:

а) все матрицы;

б) симметрические матрицы; ()

в) кососимметрические матрицы; ()

г) невырожденные матрицы (обратимые);

д) вырожденные матрицы (необратимые);

е) матрицы с нулевым следом ( следом матрицы называют сумму ее диагональных элементов и обозначают: ).

АГ – 2. ПЗ 38. Векторные подпространства.

1. Выяснить, является ли подпространством соответствующего векторного пространства каждое из следующих подмножеств векторов:

а) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в точке О;

б) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на данной прямой;

в) векторы плоскости с началом О, концы которых не лежат на данной прямой;

г) векторы координатной плоскости, концы которых лежат в первой четверти;

д) векторы пространства , координаты которых – целые числа;

е) векторы пространства , координаты которых удовлетворяют уравнению ;

ж) векторы пространства , являющимися линейными комбинациями данной системы векторов: ;

з) векторы, являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений;

АГ – 2. ПЗ 38. Векторные подпространства.

1. Выяснить, является ли подпространством соответствующего векторного пространства каждое из следующих подмножеств векторов:

а) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в точке О;

б) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на данной прямой;

в) векторы плоскости с началом О, концы которых не лежат на данной прямой;

г) векторы координатной плоскости, концы которых лежат в первой четверти;

д) векторы пространства , координаты которых – целые числа;

е) векторы пространства , координаты которых удовлетворяют уравнению ;

ж) векторы пространства , являющимися линейными комбинациями данной системы векторов: ;

з) векторы, являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений;

и) векторы пространства , являющимися решениями данной системы линейных уравнений.

2. Доказать, что следующие совокупности векторов пространства образуют подпространства, и найти их базисы и размерности:

а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты;

б) векторы, у которых координаты с четными номерами равны 0;

в) векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой;

3. Выяснить, какие из следующих множеств матриц второго порядка над полем К образуют векторные пространства, найти их базисы и размерности:

а) все матрицы;

б) симметрические матрицы; ()

в) кососимметрические матрицы; ()

г) невырожденные матрицы (обратимые);

д) вырожденные матрицы (необратимые);

е) матрицы с нулевым следом ( следом матрицы называют сумму ее диагональных элементов и обозначают: ).

и) векторы пространства , являющимися решениями данной системы линейных уравнений.

2. Доказать, что следующие совокупности векторов пространства образуют подпространства, и найти их базисы и размерности:

а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты;

б) векторы, у которых координаты с четными номерами равны 0;

в) векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой;

3. Выяснить, какие из следующих множеств матриц второго порядка над полем К образуют векторные пространства, найти их базисы и размерности:

а) все матрицы;

б) симметрические матрицы; ()

в) кососимметрические матрицы; ()

г) невырожденные матрицы (обратимые);

д) вырожденные матрицы (необратимые);

е) матрицы с нулевым следом ( следом матрицы называют сумму ее диагональных элементов и обозначают: ).