МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
________________________________________________________
КАЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
Кафедра физики
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО ФИЗИКЕ
для студентов специальностей 060811, 060815, 240400, 290300, 290600, 290700, 290800, 291000, 550100
Лабораторная работа № 36
ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
Казань
2002
11
УДК 530.1
Составитель В. В. Алексеев Под редакцией Л. И. Маклакова
Методические указания к лабораторным работам по физике для студентов спе-
циальностей 060811, 060815, 240400, 290300, 290600, 290700, 290800, 291000, 550100.
Лабораторная работа № 36. ²Изучение электрических затухающих колеба- ний"/ Казанская государственная архитектурно-строительная академия. Соста- витель В. В. Алексеев (под редакцией Л. И. Маклакова). Казань, 2002 г.
В работе рассмотрены колебательные процессы. Дана краткая теория. При- ведена установка, на которой проводятся измерения.
Стр. 8, рис. 5
Рецензент: д. ф.-м. н. профессор В. А. Жихарев — Казанский государствен-
ный технологический университет
Ó Казанская государственная |
|
архитектурно-строительная |
академия, 2002 г. |
22
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Колебаниями называются процессы, характеризуемые той или иной степе- нью повторяемости во времени.
Простейшим типом колебаний являются так называемые гармонические ко-
лебания. Колебания какой-либо физической величины называются гармониче- скими, если она изменяется со временем по закону косинуса или синуса, т.е.
s = A×cos(w0t +a).
Здесь s — мгновенное значение колеблющейся величины; A — амплитуда коле-
бания, т.е. наибольшее значение, которое может принимать колеблющаяся ве-
личина; (wt + a) — фаза колебания; a — начальная фаза колебания, т.е. фаза колебания в момент времени t = 0; w — циклическая частота колебаний, кото-
рая показывает сколько колебаний совершается за 2p секунд; n = 1/T — частота колебаний, т.е. число колебаний, совершаемых за одну секунду; T — период ко- лебаний, т.е. время одного полного колебания.
Колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Ка- чание маятника часов, волны на воде, переменный электрический ток, свет, звук, радиоволны и т.д. являются примерами колебаний различных физических величин.
Несмотря на различие физической природы различного вида колебаний, у
них существует общность ряда закономерностей и единство математического аппарата для их изучения. Это позволяет выделить в качестве одного из разря- дов физики учение о колебаниях и волнах.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Колебательной называют систему, в которой могут происходить колеба-
ния. Примерами такой системы является пружинный маятник, колебательный контур и т.д.
Колебания, происходящие в колебательной системе, выведенной из состоя- ния равновесия и представленной самой себе, называются свободными колеба-
ниями. Свободные колебания всегда являются затухающими, |
|
|
|
так как энергия, сообщённая колебательной системе, посто- |
|
К |
+ |
янно убывает. Это уменьшение энергии в зависимости от ви- |
L |
C |
|
да колебаний обусловлено различными причинами. Напри- |
– |
||
мер, при электромагнитных колебаниях, происходящих в ко- |
|
R |
|
|
|
||
лебательном контуре, электромагнитная энергия, запасённая |
|
|
|
в контуре, превращается в теплоту, поскольку при протека- |
|
Рис. 1 |
|
нии электрического тока в контуре, согласно закону Джоуля |
|
|
|
— Ленца, будет происходить нагревание индуктивности. |
|
|
|
33 |
|
|
|
Рассмотрим колебательный контур (рис. 1). Составим дифференциальное урав- нение, описывающее колебания, происходящие в контуре. Пусть в начальный мо- мент (t = 0) времени конденсатору сообщён некоторый заряд q. После замыкания ключа K в контуре возникает электрический ток i, который вызывает в индук-
тивности L э.д.с. самоиндукции εs, равную εs = -L didt . По второму правилу
Кирхгофа сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна сумме э.д.с., входящих в этот контур. В данном случае напряжение UR на резисторе и UC на ёмкости равно iR и q/C соответственно. Единственной э.д.с. в контуре является
εs. Следовательно, уравнение Кирхгофа для контура имеет вид:
UR |
+ UC = ε |
|
|
или |
|
|
|
|
|
iR + |
q |
= - L |
di |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Преобразуя это уравнение и учитывая, что i = |
|
dq |
и |
|
di |
= |
d |
æ dq ö |
= |
d 2q |
, получа- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|||||||||||||||||||||||
ем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
dt |
è dt ø |
|
dt2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2q |
|
+ |
R |
× |
dq |
|
+ |
1 |
q = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||
|
|
|
|
|
dt 2 |
L |
dt |
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Введём обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
R |
= 2b |
|
|
и |
|
|
1 |
|
= w02. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда уравнение (1) запишется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
d 2q |
+ 2b × |
dq |
+ w02q |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
dt 2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Получили дифференциальное уравнение (3), описывающее колебания заряда на конденсаторе колебательного контура.
Подстановкой легко убедиться, что решением дифференциального уравне- ния (3) является функция
q = q0e−βt × coswt, |
(4) |
где q — начальный заряд на конденсаторе при t = 0, w = 
w20 - b2 — циклическая
частота колебаний, происходящих в контуре; b — постоянная, называемая коэф- фициентом затухания. Формула (4) имеет физический смысл только в том случае, если w — действительная величина, т.е. если выполнено условие
w2 |
> b2 . |
(5) |
0 |
|
|
44
Используя формулу (4), можно найти зависимость напряжения u на конденсато- |
||||||||||||||||
ре от времени: u = |
|
q |
= |
q0 |
× e |
−βt |
× coswt. Но |
|
|
|
|
|||||
C |
C |
|
u |
|
|
|
||||||||||
q0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
=U0 — начальное напряжение на кон- |
|
|
|
|
||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
денсаторе при t = 0. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
u =U0e−βt |
× coswt. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
t |
Придадим формуле (6) иной вид: |
0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
u = Um(t)×cos wt, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um (t) =U0e−βt . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||
Величину Um(t) можно рассматривать как амплитуду затухающих колебаний. Вид- |
||||||||||||||||
но, что амплитуда убывает по экспоненциальному закону. Итак, решая дифферен- |
||||||||||||||||
циальное уравнение (3), приходим к выводу, что в колебательном контуре проис- |
||||||||||||||||
ходят колебания с периодом T = 2p/w, причём напряжение на обкладках конденса- |
||||||||||||||||
тора изменяется по закону (7). График функции (7) приведён на рис. 2. График |
||||||||||||||||
функции (8) показан на рис. 2 пунктирной линией. Из формулы (5) с учётом выра- |
||||||||||||||||
жения (2) следует, что |
в колебательном контуре колебания происходят, если |
|||||||||||||||
R < 2 L /C. При R ³ 2 |
L / C |
будет происходить апериодический (непериоди- |
||||||||||||||
ческий) разряд конденсатора. График этого процесса изображён на рис. 3. |
||||||||||||||||
на- |
Для характеристики затухающих колебаний вводится специальная величина, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зываемая |
логарифмическим |
декрементом |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Um(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
затухания. Возьмём отношение двух ампли- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
туд, соответствующих моментам времени, |
||||||
|
|
Um(t+T) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отличающимся на один период (рис. 2), т.е. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um(t) / Um(t + T). Натуральный логарифм |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
этого отношения называют логарифмиче- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ским декрементом затухания d, т.е. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = ln U |
Um (t) |
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
(t + T ). |
(9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания. Исполь- |
||||||||||||||||
зуя формулы (8) и (9), запишем: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
d = ln |
U0e−βt |
|
= ln e |
βT |
= bT. |
|
|
|
|
|
|||||
|
U0e−β(t+T ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введём промежуток времени t, за который амплитуда колебаний уменьшается в |
||||||||||||||||
e раз (e » 2,718 — основание натурального логарифма), т.е. |
|
|
||||||||||||||
55
U |
m |
(t) |
= |
|
U |
e−βt |
= eβτ = e. |
|
|
|
|
0 |
|
||||
Um (t + τ) |
U0e−β(t+τ) |
|||||||
|
|
|||||||
Отсюда следует, что βτ = 1 и β = 1/τ, т.е. коэффициент затухания обратно пропорционален промежутку времени, в течение которого амплитуда колеба-
ний уменьшается в е раз. Обозначим через Nе число колебаний, по совершении которых амплитуда уменьшается в е раз. Тогда τ/T = Nе и d = βT = 1/(τ/T) = 1/
Nе.
Следовательно, логарифмический декремент затухания обратно пропорцио- нален числу колебаний, совершаемых за промежуток времени, в течение кото- рого амплитуда уменьшается в е раз.
СХЕМА УСТАНОВКИ
Для изучения затухающих колебаний, происходящих в колебательном кон- туре, собрана схема, приведённая на рис. 4.
Схема состоит из источника тока ε, электронного ключа ЭК, переключателя П, колебательного контура с индуктивностью L, ёмкостью C и набором рези- сторов R1, R2, ..., Rn. Меняя положение переключателя П, в контур включаются различные резисторы.
Напряжение от источника тока через электронный ключ ЭК в течение очень малого промежутка времени (порядка нескольких мкс) подаётся на конденсатор C колебательного контура. Под действием приложенного напряжения он заря- жается. Сразу же после зарядки конденсатора электронный ключ ЭК отключает источник тока от контура. Промежуток времени между двумя последователь- ными включениями или отключениями электронного ключа ЭК больше време- ни, в течение которого колебания в контуре прекращаются. Поэтому в колеба- тельном контуре будут происходить свободные колебания.
В данной работе изучается зависимость напряжения u на конденсаторе ко- лебательного контура от времени t. С этой целью исследуемое напряжение по-
|
L |
|
|
ЭК |
R1 R2 |
. . . |
Rn |
– ε |
С |
П |
|
+ |
|
|
|
Y
Рис. 4
даётся на "вход Y" осциллографа. На экране осциллографа наблюдается зави-
66
симость u = U(t)×cos(wt + a), график которой аналогичен графику, приведённо- му на рис.2. Измеряя Um(t) и Um(t + T), по формуле (9) определяют логарифми- ческий декремент затухания. Меняя сопротивление контура, строят зависимость логарифмического декремента затухания от сопротивления контура.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Соедините выход со стенда с входом усилителя вертикального отклонения ос- циллографа (гнездо " Y ", расположенное на левой стороне осциллографа) спе- циальным кабелем. Тумблеры "СИНХ" и "РАЗВЁР" на правой стороне осцилло- графа должны находиться в верхнем положении. ПРОВЕРЬТЕ!
2.Включите установку в сеть.
3.Включите осциллограф. Установите переключатель " Y " на передней панели осциллографа в положение " ~ ".
4.Поставьте переключатель П на стенде в крайне правое положение, а тумблер "СЕТЬ" в верхнее положение. При этом на экране осциллографа появится кар- тина затухающих колебаний, аналогичная графику, приведённом на рис. 2. Если картина неустойчива или отсутствует, то с помощью ручек "СТАБ" и "УРОВЕНЬ", расположенных на передней панели осциллографа, добейтесь ус- тойчивого изображения.
5.Измерьте амплитуды затухающих колебаний для моментов времени, от-
личающихся на период (рис. 2). Для этого ручкой совместите нулевую линию с горизонтальной линией, имеющей деление. Ручкой
подведите одну из амплитуд к вертикальной оси с делениями и измерь- те её в делениях. При этом ручку "U/ДЕЛ" надо поставить в такое поло- жение, чтобы высота сигнала была как можно больше (ручка "УСИЛЕНИЕ" должна находиться в крайнем правом положении (проследите!)). Умножая это значение на показание ручки "U/ДЕЛ", находим из- меряемую амплитуду напряжения. Затем к вертикальной оси с делениями подведите другую амплитуду и измерьте её напряжение (рис. 5).
6.Проведите измерения, аналогичные измерениям, приведённым в пункте 5,
сразличными резисторами колебательного контура, переводя переключа- тель П в разные положения, поворачивая ручку влево.
7.Отключите установку от сети.
8.Определите по формуле (9) логарифмический декремент затухания для всех сопротивлений с точностью до сотых долей. Данные занесите в таб- лицу.
9.Постройте зависимость d от R. Значения d откладывайте по оси орди- нат. При этом выберите такой масштаб, чтобы можно было откладывать сотые доли числа.
10.Результаты покажите преподавателю.
77
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Какие процессы называются колебательными?
2.Какие колебания называют гармоническими и свободными?
3.Что такое амплитуда, фаза, частота, циклическая частота и период коле- бания?
4.Составьте дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Каков вид его решения?
5.Что называется логарифмическим декрементом колебаний? Каков его фи- зический смысл?
6.Каков физический смысл коэффициента затухания?
Um(t) |
Рис. 5 |
88