КАЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНАЯ
АКАДЕМИЯ
Кафедра физики
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО ФИЗИКЕ
для студентов специальностей
2903 , 2906 , 2907 , 2908 , 2910
Лабораторная работа № 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ И ГРАВИТАЦИОННОЙ ПОСТОЯННОЙ НА МАШИНЕ АТВУДА
Казань - 1998 г.
Цель данной работы — изучение равноускоренного движения тел под дей- ствием силы тяжести, определение ускорения свободного падения и гравитаци- онной постоянной.
В механике, для того чтобы избежать излишнего усложнения задач, ис- пользуется понятие материальной точки. Тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь, называется материальной точкой. На- пример, при изучении движения планет вокруг Солнца размерами этих небес- ных тел можно пренебречь, так как их диаметр много меньше расстояния меж- ду ними. Наоборот, люди на Земле не могут считать свою планету материаль- ной точкой.
|
z |
При описании движения тел в |
||
|
механике |
используются понятия |
||
|
траектория |
|||
|
траектории, перемещения и пути. |
|||
|
r |
Воображаемая линия, которую |
||
|
r |
|||
|
r |
описывает материальная точка |
||
|
r1 |
|||
|
|
при движении, называется тра- |
||
|
r |
екторией. |
Перемещением назы- |
|
|
r2 |
вается вектор, проведенный из |
||
|
|
|||
|
|
начального положения точки в |
||
|
x |
конечное. Путем или длиной |
||
|
|
пути называют длину участка |
||
y |
Рис.1 |
траектории между начальным и |
||
конечным |
положениями мате- |
|||
|
||||
|
|
риальной |
точки. Эти определе- |
|
ния иллюстрирует рис. 1. Здесь начальное и конечное положения материальной точки задаются с помощью радиус-векторов r1 и r2 , а вектор перемещения r =
r1 − r2 . Путь представляет собой длину участка траектории (показана на рис. 1 пунктиром) между концами (остриями) векторов r1 и r2 .
Для того чтобы характеризовать процесс движения тела вводятся понятия скорости и ускорения. Если за очень малый элементарный промежуток времени dt материальная точка совершила перемещение dr , то скоростью υ называет-
ся отношение |
|
|||
υ = |
dr |
, |
(1) |
|
dt |
||||
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
т.е. скорость — это перемещение за единицу времени. С точки зрения
математики скорость является производной радиус-вектора по времени. В
системе единиц СИ единицей скорости является 1м/с.
Скорость тела может изменяться со временем. Быстроту ее изменения ха- рактеризуют ускорением. Если за очень малый промежуток времени dt проис- ходит изменение вектора скорости на dυ , то ускорением a называется отноше-
ние
a = |
dυ |
. |
(2) |
|
|||
|
dt |
|
|
Следовательно, ускорение равно изменению скорости за единицу времени. С точки зрения математики ускорение — производная скорости по време-
ни. В системе единиц СИ единицей ускорения является 1 м/с2. В частном случае прямолинейного равноускоренного движения скорость и координаты матери- альной точки описываются уравнениями:
υ = υ0 |
+ at |
|
|
|
|
||
x = |
x0 |
+ υ |
0 t + |
at |
2 |
, |
(3) |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где υ и υ0 соответственно модуль скорости и начальная скорость тела, x0
—начальная координата, a — модуль ускорения.
Винерциальных системах отсчета любое изменение скорости тела, а также его деформация происходит под действием других тел. Для количественного выражения взаимодействия тел вводится понятие силы. В физике сила, дейст-
вующая на тело, является мерой его взаимодействия с окружающими те-
лами. Сила — векторная величина характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.
Тела обладают способностью противодействовать приобретению ускоре- ния. Это свойство тел было названо инертностью. Мерой инертности тел при
их поступательном движении является масса.
Все силы, встречающиеся в природе, несмотря на их разнообразие, могут быть сведены к четырем видам взаимодействий: гравитационным, электромаг- нитным, слабым и ядерным. Гравитационные силы возникают между любыми телами, обладающими массой. Поэтому масса характеризует и гравитационные свойства тел. Чем она больше, тем больше сила гравитационного притяжения.
Следовательно, масса является мерой гравитационного взаимодействия тел. В системе единиц СИ масса измеряется в килограммах (кг).
Электромагнитные силы действуют как на покоящиеся заряженные тела, так и на движущиеся. Электромагнитную природу имеют такие широко распро- страненные силы, как силы упругости и трения. Ядерные и слабые силы прояв- ляют себя на расстояниях сопоставимых с размерами атомного ядра . Поэтому эти силы играют важную роль лишь в микромире. В системе единиц СИ еди-
ница силы ньютон — 1 Н = 1 кг×1 м/с2.
3
Все тела обладающие массой притягиваются друг к другу с силами, полу- чившими название гравитационных сил. Установленный Ньютоном закон все-
мирного тяготения гласит: силы, с которыми притягиваются две матери-
альные точки, пропорциональны произведению их масс, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними и направлены вдоль прямой их со-
единяющей. Математически закон записывается, как
F = g |
Mm |
, |
( 4 ) |
||
r 2 |
|
||||
|
|
|
|||
где F — сила, M и m — массы тел, r — расстояние между телами, g — гра- витационная постоянная равная 6,672×10 −11 Н×м 2 / кг 2 . Следует особо отметить, что для однородных шарообразных тел закон всемирного тяготения оказывает- ся справедливым, если за расстояние r между телами принимается расстояние между центрами шаров.
Сила гравитационного притяжения, действующая со стороны Земли на все тела, называется силой тяжести. Ускорение, приобретаемое телами под действием одной лишь силы тяжести, называется ускорением свободного па-
дения. Обозначается буквой g и только у поверхности нашей планеты имеет ве- личину g0 » 9,8 м / с 2 . По второму закону Ньютона сила тяжести F = m g. Тогда
m g = g |
Mm |
, |
(5) |
||
|
r 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
сокращая на m, получаем: |
|
||||
g = g |
M |
, |
|
( 6 ) |
|
|
|
||||
|
r 2 |
|
|
||
где M = MЗ — масса Земли, r = RЗ — радиус Земли, если второе тело нахо- дится у ее поверхности. Поэтому формулу можно записать:
g0 = g |
M |
З |
. |
(7) |
RЗ |
2 |
|||
|
|
|
|
Ускорение свободного падения g можно найти очень просто: дать телу упасть с нулевой начальной скоростью с известной высоты h и измерить время падения t, а затем, пользуясь формулой h = gt2/2, вычислить величину g. Труд- ности опыта связаны с большим значением ускорения свободного падения: тело быстро набирает скорость и время падения с небольших высот (ограниченных высотой учебной аудитории) оказывается малым и его трудно точно измерить.
Более точно определить g можно с помощью устройства называемого ма- шиной Атвуда (рис.2).
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Через блок перекинута нить, на которой за- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
креплены два груза одинаковой массы M. Система |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
остается в равновесии до тех пор, пока на один из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
грузов не будет положен перегрузок — колечко |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
массой m (с прорезью для нити). Под действием |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
силы тяжести F = mg система грузов, полная масса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которой 2M+m, начинает двигаться с ускорением |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a. Ускорение грузов легко найти, если сделать два |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
предположения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) массы блока и нити пренебрежимо малы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
2) силами трения в системе можно пренебречь. По- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
скольку все силы и ускорения направлены вдоль |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
M g |
(M+m) g |
оси x (рис. 2) уравнения с использованием вектор- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
ных величин будут практически идентичны урав- |
|
нениям с модулями этих векторов, если считать |
||
|
||
|
направление оси x положительным, а векторам с |
противоположным направлением присвоить знак “−”. Тогда уравнения движе- ния грузов имеют вид:
Mg − T = −Ma,
(8)
(M + m)g − T = (M + m)a,
где T — сила натяжения нитей, a — ускорение системы грузов. Выражая T из верхнего уравнения (8) и подставляя в нижнее, получаем:
(M + m)g − Mg − Ma = (M + m)a . |
(9) |
|||||||||
Из уравнения (9) после сокращений и преобразований ускорение системы |
||||||||||
грузов находится: |
|
|
||||||||
a = |
|
|
|
mg |
|
|
||||
|
|
|
. |
|
(10) |
|||||
|
2M + m |
|
||||||||
С другой стороны для равноускоренного движения при нулевой начальной |
||||||||||
скорости справедлива формула: |
|
|||||||||
h = |
|
at2 |
, |
|
|
( 11) |
||||
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где t и h время и высота падения соответственно. Следовательно, ускоре- |
||||||||||
ние можно выразить, как: |
|
|||||||||
a = |
2h |
. |
|
( 12 ) |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
||
Подставляя (12) в (10), получаем: |
|
|||||||||
|
2h |
|
= |
|
|
mg |
. |
(13) |
||
|
t 2 |
|
2M + m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Преобразуя выражение (13), найдем ускорение свободного падения:
5
g = 2h (2M + m) . |
(14) |
|
t 2 |
m |
|
Измерив ускорение свободного падения с помощью машины Атвуда, мож- |
||
но определить и гравитационную постоянную g. Преобразуя формулу (6), полу- |
||
чим: |
|
|
g = g RÇ2 |
, |
(15) |
MÇ |
|
|
где MЗ = 5,98×1024 кг — масса Земли, а RЗ = 6,37×10 6 м — радиус планеты. |
||
|
ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБРАЗЦОВ |
|
Масса основных грузов M = 88,6 г, |
||
масса кольца с одной риской на ободке m1 = 4 г, |
||
масса кольца с двумя рисками на ободке m2 = 4,3 г, |
||
масса кольца с тремя рисками на ободке m3 = 2,3 г. |
||
|
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ |
|
|
|
блок на подшипниках |
|
|
и электромагнит |
|
|
кольцо с прорезью |
|
h |
|
|
красная |
кронштейн с |
|
риска |
|
|
фотоэлементом |
|
|
|
|
|
основной |
|
|
груз |
|
|
00,0000 |
|
|
сброс |
пуск сеть |
|
|
6 |
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Получить у преподавателя дополнительные грузы в виде колец с проре- зями. Перекинуть нить с грузами через блок. При этом нить должна лечь в от- веденную ей канавку на ролике.
2.Включить сетевой кабель в розетку и нажать клавишу “сеть” на перед- ней панели прибора. Проверить, высвечиваются ли цифры на экране индикато- ра, и горит ли лампочка фотоэлемента, расположенная на кронштейне, прикре- пленном к нижней части стойки.
3.Надеть на правый груз кольцо, пропустив нить внутрь через прорезь. Убедиться, что система грузов при этом вышла из равновесия и правый груз плавно движется вниз, не цепляясь за кронштейн фотоэлемента.
4.Опустить левый груз на поверхность прибора и одновременно нажать клавишу “сброс”. При этом на панели индикатора должны высвечиваться одни нули и должен включиться электромагнит, удерживающий систему грузов в не- подвижном состоянии. Определить высоту падения h системы грузов. Для этого измерить расстояние от низа правого груза до красной риски кронштейна фото- элемента.
5.Нажать и удерживать нажатой клавишу “пуск” после чего электромаг- нит должен выключиться, электронный секундомер начнет отсчет времени, а система грузов придет в движение. В момент, когда правый груз пересечет луч фотоэлемента, отсчет времени прекратится. Необходимо отпустить клавишу “пуск” и записать результат измерения t.
6.Измерения повторить 5 раз в соответствии с пунктами 5 и 6 еще для двух различных дополнительных грузов-колец.
7.Определить средние значения времени движения tср, абсолютную по- грешность t по формулам:
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
n |
å(ti − tcp )2 |
|
|
||
|
i=1 |
|
|
||||
tср = |
åti , t = |
, |
|||||
n |
n(n −1) |
||||||
|
i=1 |
|
|
||||
(где n = 5 — число измерений) для всех грузов — колец по отдельности. Ре- зультаты занесите в таблицу 1.
8.При помощи формулы (14) определить ускорение свободного падения g, использовав характеристики образцов и средние значения времени tср .
9.Определить величину гравитационной постоянной по формуле (10), вос- пользовавшись расчетным значением g.
10.Вычислить относительную и абсолютную погрешности измерений g и γ
,по формулам:
ε = g/g = γ/γ = |
h + |
2 t |
+ |
2 M |
+ |
m |
+ |
m |
, g = εg, γ = εγ |
|
2M + m |
2M + m |
m |
||||||
, |
h tcp |
|
|
|
|
||||
считая погрешности |
h = 1 мм, |
M = m = 0,1 г. |
|
|
|
||||
7
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
m |
2M+m |
t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
t5 |
tср |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Дайте определение траектории, перемещения и пути.
2.Что такое скорость и ускорение?
3.Какие формулы справедливы для скорости и координат тела при прямолинейном равноускоренном движении.
4.Что называется силой?
5.Какие основные виды сил действуют в природе?
6.Какое движение называется свободным падением?
7.Сформулируйте закон всемирного тяготения?
8.От каких величин зависит ускорение свободного падения?
9.Выведите расчетную формулу.
10.Почему измеренное ускорение свободного падения меньше,
ане больше табличного значения?
8