МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
________________________________________________________
Кафедра физики
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО ФИЗИКЕ
для студентов специальностей 060811, 060815, 240400, 290300, 290600, 290700, 290800, 291000, 550100
Лабораторная работа № 48
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ И ИХ СВОЙСТВА
Казань - 2003
Составитель: В.И. Сундуков Под редакцией В.В. Алексеева, Л.И. Маклакова
УДК 539.15
Методические указания к лабораторным работам по физике для студентов дневного и заочного отделений специальностей 060811, 060815, 240400, 290300, 290600, 290700, 290800, 291000, 550100 Лабораторная работа № 48
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ И ИХ СВОЙСТВА/ Казанская государ-
ственная архитектурно-строительная академия; Сост. В.И. Сундуков. Под редакцией В.В. Алексеева, Л.И. Маклакова. Казань, 2003 г. 14 с.
В работе рассматриваются основы теории электромагнитных волн, вводятся основные понятия. Приводятся методы определения длины волны и проверки поляризации волн.
Илл. 6. Табл. 2.
Рецензент профессор кафедры молекулярной физики Казанского госуниверситета Скирда В.Д.
© Казанская государственная архитектурно-строительная академия, 2003 г.
2
Цель работы. Ознакомление с теорией электромагнитных волн и изучение их свойств на практике. Определение длины волны. Проверка закона Малюса.
Волновые процессы. Основные характеристики.
Представление о волнах пронизывает всю нашу жизнь, науку и технику. Это и волны на море и сейсмические волны в земле, и звуковые волны, и электромагнитные волны: радиоволны, свет, рентгеновское излучение и т.д. Несмотря на то, что природа их различна, волны характеризуются одинаковыми закономерностями, и для их описания используется одинаковые математические уравнения. Выявление общих волновых закономерностей способствует пониманию волновых явлений, имеющих различную физическую природу.
Источниками волн любой природы являются колебания. Упругие колебания возникают в упругих средах, т.е. там, где при смещении частиц среды возникают возвращающие силы. Колебания, возбужденные в какой-то точке среды, начинают распространяться в ней с конечной скоростью. Это объясняется тем, что частицы среды упруго связаны друг с другом, и колебания какой-либо частицы среды постепенно вовлекают и другие частицы.
Волновым процессом или волной называется процесс распространения колебаний, периодический во времени и пространстве. При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. При распространении волны передается энергия. Перенос энергии происходит без переноса вещества.
Типы волн. Упругие волны бывают продольными и поперечными. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления волны, в поперечной — в перпендикулярном направлении. Фронт волны — это геометрическое место точек, до которых к данному моменту времени дошли колебания. Волновая поверхность — это геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В принципе волновые поверхности могут быть любой формы, а в простых случаях они могут быть или плоскостями, или сферами. Соответственно волна называется плоской или сферической.
Чем дальше расположены частицы от источника колебаний, тем позднее они начнут колебаться. Это означает, что у них будет запаздывать фаза колеба-
3
ния. Когда с увеличением расстояния запаздывание фазы достигнет 2π, то эти точки будут колебаться с фазой, совпадающей с фазой источника. Длина волны λ — это расстояние между двумя ближайшими волновыми поверхностями, у которых частицы колеблются в одинаковой фазе (т.е. разность фаз равна 2π). Это расстояние волна проходит за период колебаний T. Поэтому
λ =VT или λ =V / ν. |
(1) |
Здесь V — скорость волны, ν = T1 — частота колебаний. Она измеряется в гер-
цах (Гц) и равна числу колебаний за секунду, поскольку период T — это время одного колебания.
Уравнение волны. Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если частицы колеблются по гармоническому закону (синус или косинус):
s = Acos(ωt + ϕ) . |
(2) |
Здесь S — смещение частицы среды от положения равновесия, (ωt +ϕ) — фаза, ϕ — начальная фаза, ω — циклическая или круговая частота. Циклическая
частота связана с линейной частотой ω= 2πν.
Для получения уравнения плоской гармонической волны предположим, что она распространяется вдоль оси X. Начало отсчета времени выберем так, что в начале координат начальная фаза колебания ϕ= 0. Тогда в точку x колебания дойдут
с запаздыванием: s(x,t) = Acosω(t −τ) . Время, в течение которого колебание дос-
тигнет точки x равно τ = Vx , где V — скорость распространения возмущения, т.е.
фазыколебания(скоростьволны). Такимобразом, получимуравнениеволны:
s(x,t) = Acosω(t − |
x |
) . |
|
(3) |
||||
|
|
|
||||||
|
|
V |
|
|
||||
Уравнение плоской гармонической волны может быть записано ещё в |
||||||||
двух видах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
s(x,t) = Acos 2π( |
t |
− |
x |
) |
, |
(4) |
||
|
|
|||||||
T |
|
|
λ |
|
|
|||
s(x,t) = Acos(ωt −kx) . |
|
(5) |
||||||
Величина k = 2λπ называется волновым числом. Оно показывает, сколько длин
волн укладывается в 2π метров.
Периодичность плоской гармонической волны во времени и пространстве легко проиллюстрировать рисунком (рис. 1). На этом рисунке текущая фаза колебания, которая определяется временем t и координатой x, показана жирной точкой.
4
Рис. 1. Зависимости смещения частицы от времени и координаты
Дифференциальное уравнение волны можно получить, если сначала продифференцировать выражение (2) дважды по х,
∂2 s |
= −A |
ω2 |
cosω(t − |
|
x |
) = − |
ω2 |
s |
, |
(6) |
||||
∂x2 |
V 2 |
V |
V 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а другой раз дважды продифференцировать по t, |
|
|
|
|
|
|||||||||
∂2 s |
= −Aω |
2 |
cosω(t − |
|
x |
|
|
2 |
s . |
|
|
|||
∂t 2 |
|
|
|
|
) = −ω |
|
(7) |
|||||||
|
V |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Выразив из уравнения (7) s и затем, подставив в (6), получим дифференциаль-
ное уравнение плоской волны:
∂2 s |
− |
1 |
∂2 s |
= 0. |
(8) |
|
∂x2 |
V 2 |
∂t 2 |
||||
|
|
|
В общем виде дифференциальное уравнение волны зависит не только от времени t и координаты x, но и координат y и z
|
|
|
|
|
|
|
s − |
1 |
∂2 s |
= 0 |
, |
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
∂t 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
= |
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
— оператор Лапласа, |
|
||||
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это уравнение справедливо для различных типов волн (упругих, электромагнитных, поверхностных). Величина S представляет собой для упругих волн смещение частиц, для электромагнитных — напряженность электромагнитного поля. Кроме того, решение данного дифференциального уравнения в различных случаях в зависимости от конкретных условий может давать не только плоские и гармонические, но и другие волны, например, сферические.
5
Электромагнитные волны и их свойства.
Электромагнитные волны — это процесс распространения электромагнитных колебаний в пространстве, происходящий с конечной скоростью. В
пространстве происходит колебание напряжённостей E и H электромагнитного поля. Их существование было предсказано Фарадеем, а на опыте они были впервые получены Г. Герцем. Особенностью электромагнитных волн является то, что они распространяются не только в средах, но и в вакууме. Из теоретических уравнений электромагнетизма Дж. Максвелла следовало, что в вакууме возможно распространение электромагнитной волны со скоростью света.
Два фундаментальных закона природы лежат в основе теории электромагнитных волн: закон электромагнитной индукции Фарадея (1 уравнение Максвелла) и закон, открытый Максвеллом, который утверждает, что переменное электрическое поле ответственно за возникновение магнитного поля (2 уравнение Максвелла). Возникшее в какой-либо точке пространства изменяющиеся по величине магнитное поле порождает изменяющиеся по величине вихревое электрическое поле, которое, в свою очередь, вызовет появление переменного магнитного поля и т.д. Возникает бесконечный процесс взаимного превращения полей, который распространяется в трехмерном пространстве.
Теория Максвелла позволила установить, что радиоволны, свет, рентгеновское и гамма-излучение представляют собой электромагнитные волны с различной длиной волны (см. таблицу 1). Причем между соседними диапазонами шкалы нет резких границ.
Таблица 1. Шкала электромагнитных волн
Вид излучения |
Длина волны (м) |
Частота (Гц) |
Источник |
Радиоволны |
103 – 10–4 |
105 – 1012 |
Генераторы |
ИК излучение |
10–4– 8·10–7 |
1011–3,7·1014 |
Нагретые тела |
Видимый свет |
8·10–7– 4·10–7 |
3,7·1014–7,5·1014 |
Лампы |
УФ излучение |
4·10–7– 10–9 |
7.5·1014–1017 |
Лампы |
Рентгеновское |
10–9–10–12 |
1017–1019 |
Рентгеновские трубки |
γ −излучение |
≤10–12 |
≥1019 |
Радиоактивность |
Разделение всей шкалы на определенные интервалы по длинам волн связано со способом генерации и регистрации волн, а также с областью их применения. Электромагнитные волны с длинами волн в диапазоне 103–10–4м называются радиоволнами. Радиоволны излучаются с помощью антенн, в которых протекают переменные токи. За радиоволнами следует инфракрасный диапазон ( λ =10–4 – 8·10–7м). Инфракрасные (ИК) волны появляются вследствие колебаний атомов друг относительно друга и испускаются нагретыми телами. Очень узкий диапазон занимает видимый свет ( λ =8·10–7 – 4·10–7м). Электромагнитные колебания, невидимые человеческим глазом с более короткими длинами волн ( λ =4·10–7 – 10–9м) создают ультрафиолетовое излучение. Видимый свет и ультрафиолетовые лучи излучаются за счет переходов электронов с одних энерге-
6
тических уровней на другие. Область рентгеновского излучения: 10–9 –10–12 м. Это излучение возникает при резком торможении электронов препятствиями и получается в рентгеновских трубках. Пульсации ядерного заряда приводят к появлению электромагнитного излучения с длинами волн меньше 10–12 м. Это излучение называется гамма-излучением, и появляется оно при радиоактивных распадах и в ядерных процессах.
Из уравнений Максвелла следует, что векторы напряжённостей E и H электромагнитного поля удовлетворяют дифференциальным волновым уравнениям общего типа (9):
|
|
E − |
1 |
∂2 E |
= 0 |
H − |
1 |
∂2 H |
= 0 |
, |
(10) |
|
|
V 2 |
∂t 2 |
V 2 |
∂t 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где V = |
1 |
— скорость распространения волны, ε0 — электрическая |
|||||||||
|
εε0μμ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
постоянная, μ0 — магнитная постоянная, ε — диэлектрическая проницаемость среды, μ — магнитная проницаемость среды.
В вакууме электромагнитная волна распространяется со скоростью света
(V = c = |
1 |
), а во всех других средах с меньшей скоростью ( εμ ≥1). |
|
ε0μ0 |
|
Из теории Максвеллаr следуетr поперечность электромагнитных волн. Век-
торы напряжённостей E и H электромагнитного поля колеблются перпендикулярно направлению распространения волны и перпендикулярно друг к другу.
Колебания векторов E и H происходит в одинаковых фазах и их мгновенные значения связаны соотношениями:
εε0 E = μμ0 H . |
(11) |
Другим важным свойством является отражение электромагнитных волн от поверхностей, хорошо проводящих электрический ток, например, отражение радиоволн от металлической поверхности.
Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (10), описывает некоторую волну. Наиболее простой является плоская гармоническая волна, распространяющаяся вдоль оси X:
Ez = E0 cos(ωt −kx) , |
(12) |
|
|
H y = H0 cos(ωt −kx) , |
|
|
|
где Ez и H y — проекции векторов E и H на координатные оси Z и Y, k = |
2π |
||
λ |
|||
|
|
||
— волновое число. Такую волну ещё принято называть линейно поляризованной потому, что вектор напряженности E колеблется в одном направлении.
7
Рис. 2. Электромагнитная волна
Плоскость, проходящая через вектор E и направление волны, называется плоскостью поляризации. Графическое изображение электромагнитной волны приведено на рис.2.
Электромагнитная волна, как и любая другая переносит энергиюr . Этот rперенос можно охарактеризовать плотностью потока энергии U = wVrВектор U в элек-
тродинамике называют вектором Умова – Пойтинга. Здесь V — скорость волны, w — объёмная плотность энергии электромагнитной волны. Она складывается из объёмных плотностей энергии электрического и магнитного полей:
w = wE +wH = |
εε |
E 2 |
+ |
μμ |
H 2 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
. |
(13) |
|||
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
Из выражений (11) и (13) следует, что объёмные плотности энергии, переносимые магнитным и электрическим полем равны wE = wH , εε0 E 2 = μμ0 H 2 . Отсюда следует, что
w = εε0 E 2 = εε0 |
E μμ0 H = εε0μμ0 EH = |
1 |
EH . |
(14) |
Вектор Умова – Пойтинга Ur |
|
V |
|
|
направлен вдоль вектора скорости и записывается |
||||
в виде векторного произведения: |
|
|
|
|
|
U =[EH ]. |
|
|
(15) |
Его направление характеризует направление распространения волны, а величина — плотность потока энергии, переносимой волной. На практике плотность потока энергии, переносимой волной называют интенсивностью волны..
Стоячая волна.
Наиболее типичными волновыми проявлениями (для любых типов волн) являются дифракция и интерференция. Дифракция — это явление отклонения волн от прямолинейного распространения, т.е. огибание волнами препятствий, если размеры препятствий соизмеримы с длиной волны. Интерференция — это явление, когда при наложении в пространстве двух и более когерентных волн, в разных точках пространства наблюдается или усиление или ослабление результи-
8
рующей волны. Волны считаются когерентными, если разность фаз их колебаний не изменяется со временем, т.е. совпадают их частоты колебаний.
Особым случаем интерференции является стоячая волна. Она образуется при сложении двух волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами. (Обычную волну часто называют бегущей, чтобы отличить от стоячей волны.) На практике это может происходить при отражении волны от препятствия. Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две бегущие гармонические волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси x в среде без затухания. Причем частоты колебаний волн равны друг другу, и у них также совпадают амплитуды. Начало координат выберем в той точке, в которой фазы волн одинаковы, а отсчёт времени начнем, когда начальная фаза
равна нулю. Тогда уравнения волн запишутся: |
|
|
s = E cos(ωt −kx) , |
(16) |
|
s = E cos(ωt +kx) . |
|
|
Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны: |
|
|
s = s1 + s2 = 2E cos kx cos ωt . |
(17) |
|
Из этого уравнения видно, что в каждой точке стоячей волны происходят |
||
колебания той же частоты ω с амплитудой Eс = 2E cos kx = 2E cos |
2πx |
, зави- |
|
||
|
λ |
|
сящей от координаты x рассматриваемой точки. Амплитуда достигает максимального значения 2A в точках среды, где
2πx |
= ±mπ, (m=0, 1, 2, …). |
(18) |
|
λ |
|||
|
|
Эти точки называются пучностями стоячей волны. Амплитуда достигает минимального значения, равного нулю, в точках среды, где
2πx |
= ±(m +1/ 2)π, (m=0, 1, 2, …). |
(19) |
|
λ |
|||
|
|
Эти точки называются узлами стоячей волны. Пучности и узлы стоячей волны изображены на рисунке 3.
Из выражений (18) и (19) находятся координаты пучностей и узлов
xn = ±m |
λ |
, |
|
|
(m=0, 1, 2, …), |
(20) |
|
2 |
|
|
|
|
|
xy = ±(m +1/ 2) |
λ |
, |
(m=0, 1, 2, …). |
(21) |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
9
Рис.3. Стоячая волна
Из двух последних формул видно, что расстояние между двумя соседними пучностями или соседними узлами равны
x = |
λ . |
(22) |
|
2 |
|
В отличие от бегущей волны все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но одинаковыми фазами (17). Стоячая волна не является настоящей волной потому, что не переносит энергию. Так как амплитуды прямой и отраженной бегущих волн равны, то они несут равную энергию в противоположных направлениях.
Поляризация волн. Закон Малюса
Волны, излучаемые передатчиком СВЧ (сверхвысоких частот) с рупорной антенной,rлинейно поляризованы. Конец вектора напряжённости электрическо-
го поля E описывает в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, прямую линию, которая перпендикулярна широкой стенке прямоугольного волновода передатчика с рупорной антенной. (Волновод — это отрезок передающего тракта, соединяющий генератор с передающей антенной или приёмную антенну с приёмником, он имеет прямоугольное сечение.) Эту линию называют главной линией поляризации передатчика электромагнитного излучения. В опыте направление главной линии поляризации определяется нулевым делением шкалы поворота передатчика относительно оси его рупора. Приёмная рупорная антенна обладает избирательными свойствами по отношению к поляризации принимаемого излучения. Согласно теории волноводов, регистрируются только те электромагнитные волны, у которых колебания вектора напря-
жённости электрического поля E совпадают с прямой, которая перпендикулярна широкой стенке прямоугольного волновода приёмника. Эта линия называется главной линией поляризации приёмника электромагнитного излучения. В опыте её
10