Тервер лабораторные / ИДЗ / Допустим

Допустим, что объекты генеральной совокупно­сти обладают двумя качественными признаками. Под ка­чественным подразумевается признак, который невозмож­но измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и, следовательно, расположить их. в порядке убывания или возрастания качества. Для определенности будем всегда располагать объекты в поряд­ке ухудшения качества. При таком «ранжирова­нии» на первом месте находится объект наилучшего каче­ства по сравнению с остальными; на втором месте ока­жется объект «хуже» первого, но «лучше» других, и т. д.

Пусть выборка объема п содержит независимые объ­екты, которые обладают двумя качественными признака­ми А и В. Для оценки степени связи признаков вводят, в частности, коэффициенты ранговой корреляции Спирмена (изложен в настоящем параграфе) и Кендалла (см. § 26).

Для практических целей использование ранговой кор­реляции весьма полезно. Например, если установлена высока* ранговая корреляция между двумя качествен.

нымм признаками изделий, то достаточно контролировать; изделия только по одному из признаков, что удешевляет

и ускоряет контроль.

Расположим сначала объекты выборки .в порядке уху*

шення качества по признаку А при допущении, чтовс! объекты имеют различное качество по обоим признакам (случай, когда это допущение не выполняем­ся, рассмотрим ниже). Припишем объекту, стоящему на им месте, число—ращг*/, равный порядковому номеру объекта. Например, ранг объекта, занимающего первое место, х₁ — \\ объект, расположенный на втором месте, имеет ранг х₂—2_} и т. д. В итоге получим последовательность рангов по признаку А: х₁=\, х₂ = 2, ...,х_п = п.

Расположим теперь объекты в порядке убывания Ка­чества по признаку В и припишем каждому из них ранг у_1% однако (для удобства сравнения рангов) индекс/ при у будет по-прежнему равен порядко­вому номеру объекта по признаку Л. Напри­мер, запись у₂ = 5 означает, что по признаку А объект стоит на втором месте, а по признаку В — на пятом. I

В итоге получим две последовательное-!^ рангов: I

по признаку А . . . х_1% х₂, . . ., х_п

^{по признаку В ... у}_1У ^у₂^{, у}_п ^I

Заметим, что в первой строке индекс I совпадает с по­рядковым номером объекта, а во второй, вообще говоря, не совпадает. Итак, в общем случае ЩЩЖ Рассмотрим два «крайних случая».

Пусть ранги по признакам А и В совпадают при всех значениях индекса 1:х_{ = у_{. В 1гом случае ухуд­шение качества по одному признаку влечет ухудшение качества по другому. Очевидно, признаки связаны: имеет место «полная прямая зависимость».

2. Пусф> ранги по признакам Л и Б противоположны в том смы&1е, что если 9иф ^то У±**Щ ^{если х}₂ = 2, то у_а = п—1; . ,_{Ж еслил;_д = п, тог/_п=1. В этом случае у худ* шение качества по одному признаку влечет улучшение по другому. Очевидно, признаки связаны — имеет мест «противоположная зависимость».

На практике чаще будет встречаться промежуточный случай, когда ухудшение качества по одному признаку влечет для некоторых объектов ухудшение, а для дру­гих—улучшение качества. Задача состоит в том, чтобы

оценить связь между признаками. Для ее решения рас* смотрим ранги х_1$ х₂, ...,х_п как возможные значения случайной величины X, а у_х% у₂₉.. ., у_п— как возможные

значения случайной величины У. Таким образом, о связи между качественными признаками А и В можно судить по связи между случайными величинами X и К, для оценки которой используем коэффициент корреляции.

Вычислим выборочный коэффициент корреляции слу­чайных величин X и V в условных вариантах (см. гл. XVIII, § 8):

по_ио_у

приняв в качестве условных вариант отклонения и_{ = = Г, Щт1/{—у. Каждому рангу х, соответствует только один ранг у₍₁ поэтому частота любой гов с одинаковыми индексами, ^ следовательно, и любой пары условиях вариант с одинаковыми индексами равна единице: п_и„ = 1. Очевидно, что частота любой пары

вариант с разными индексами равна нулю. Учитывая, [■•кроме того,, что среднее значение отклонения равно нуль (см. гл. XVI, § 7, следствие), т.е. и = а=*0, получим более простую формулу вычисления выборочного коэф фициента корреляции:

' § | _г =2>™. (*)

^в по_ио_у

образом, надо найти ^ир,-, о_а и о_у. Выразим ^чеР^ез известные числа — объем выбор-

ки п и разности рангов А; = Х; — у_{. Заметим, что по­скольку средние значения рангов х = (1 + 2 + ^ . + и у = (1 + 2+ • . . +п)/п равны между собой, то у — х = 0. Используем последнее равенство:

⁴₁ ^{= Х;—}_У( ^{= Х}₁ ^{— У}₁ ^{+ — *) = (*,— X) — ((/,— у) = II,-}

Следовательно,

# = (",— ",)*• Щ^^^ШШ Учитывая, что (см. далее пояснение)

_{НЩ 2и?«2^-(п*-п)/12^еИИ1м}

Приведем свойства выборочного коэффициента корре­ляции СЙм р мена.

Свойство 1. Если между качественными призна­ками А и В имеется «полная прямая зависимость* в том смысле, что ранги объектов совпадают при всех значе­ниях I, то выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен единице.

Действительно, подставив д,_{ = Х(—у 1 = 0 в (•*»♦), по-Ш&им

_I ^рв=1_-

С в о й с т в о 2. Если между качественными признаками и В имеется «противоположная зависимость"» в том смысле, что рангу х_х «= 1 соответствует ранг у_х — п\ рангу х₉ соответствует ранг у, = п — 1; ...; рангу х_п = п соответствует ранг у_н = 1, то выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен минус единице. Действительно,

^{' ^=1—/г, а}₉ ^{= 3 — п, й}_п ^{= (2л — 1)—п.}

Следовательно,

2<*? = (1 — л)² + (3 — л)³ + ... + [(2/г— 1) — л]³ = = [1' + 3»+...+(2п— I)²] — 2л [1+3 + ...+(2л-1)] + + п • п* = [п (4/г³ — 1 )/3] — 2л ■ п³ + л» = (л⁸—л)/3.

Подставив 2 й^а = (/г³—л)/3 в (**»*), окончательно по­лучим

^{Рв = — I}

Свойство 3. Если между качественными признаками А и В нет ни толпой прямой*, ни «противоположной» зависимостей, то коэффициент р_в заключен между — 1 и + 1, причем чем ближе к нулю его абсолютная величина, тем зависимость меньше.

Пример 1. Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена по данным ранга объектов выборки объема п = 10:

X/ 123456 789 10 У1 6 4 8 I 2 5 10 3 7 9

Решение. Найдем разности рангов с*,-=л',-—у,*; —5,-2,-5 3, 3, 1, —3, б, 2, I.

Вычислим сумму квадратов разностей рангов:

2 4? - 25 + 4 + 85 + 9 + 9 + I + 9 + 95 + 4 + I » 111

Нейдем искомый коэффициент ранговой корреляции, учитывая, что п== 10:

Рв=1 — [б2^/(«'— «)] ' — [6-112/(1000— 10)| ш 0,32.

Замечание. Если выборка содержит объекты с одинако­вым качеством, то каждому из них приписывается ранг, рае-ный среднему арифметическому порядковых номеров объектов. Напри­мер, если объекты одинакового качества по признаку А имеют порядковые номера 5 и 6, то их ранги соответственно равны: х,= -*(б + 6)/2«=5,5; х_вв*5,5.

Приведем правило, позволяющее установить значи­мость или незначимость ранговой корреляции связи для выборок объема п^9. Если п < 9, -то пользуются таб­лицами (см., например, табл. 6.10а, 6.106 в книге: Боль­шее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М., «Наука», 1965).

Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генераль­ного коэффициента ранговой корреляции р_г Спирмена при конкурирующей гипотезе Я₁:р_г^0, надо вычислять критическую точку:

^{К ::Щ Г}_кр^{= г}_кр ^{(о; к) КО—Р.)/(л —2), !*М<«^}

где п—объем выборки, р_в — выборочный коэффициент ран­говой корреляции Спирмена, /_кр(а; к)— критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости а и числу степеней свободы к = л—2.

Если \р„\<Т_кр—^нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качест­венными признаками незначима.

Если |р_в| > Г_кр — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

Пример 2. При уровне значимости 0,05 проверить, является ля ранговая корреляционная связь, вычисленная в примере I, значимой?

Решение. Найдем критическую точку двусторонней критичес­кой области распределения Стьюдента по уровню значимости а«0 0$ и числу степеней свободы 6 = п —2= 10 —2 = 8 (см. приложение <Ь* '«р(0,0в; в)-2,31.

Найдем критическую точку:

Г»р-Г_вр(в; *)У(1-рЬ/(*-~г).

Подставив *кп = 2,31, л«=10, р,**0,24, получим Г^^ОД Итак, Г_кр = 0,79, р_в-0,24.

Так как р_ш < Т*,» —к«т оснований отвергнуть *ул*»ую г**<мгм|; ММГовяя корреляционная связь между признаками Незначимая.