2.4zAKON IZMENENIQ KINETI^ESKOJ \NERGII
wYPISANNYH SOOTNO[ENIJ ZAWEDOMO NEDOSTATO^NO DLQ ISSLEDOWANIQ DI- NAMIKI SPLO[NOJ DEFORMIRUEMOJ SREDY: PROSTOJ PODS^ET POKAZYWAET, ^TO ^ISLO NEIZWESTNYH PREWY[AET ^ISLO URAWNENIJ. ~TOBY PONQTX, KA- KIE SOOTNO[ENIQ SLEDUET DOBAWITX, RASSMOTRIM ZAKON IZMENENIQ KINE- TI^ESKOJ \NERGII VIDKOJ ^ASTICY. zAKON SOHRANENIQ MASSY SOWMESTNO S ZAKONOM IZMENENIQ IMPULXSA DA@T
d |
mv2 |
~ |
|
|
! = m(~vf) + V vi@kPik : |
dt |
2 |
ILI POSLE DELENIQ NA OB_EM ^ASTICY
|
v2 |
~ |
2 = (~vf) + vi@kPik : |
||
oTDELXNO RASSMOTRIM WTOROE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI POLU^ENNOGO SOOTNO[ENIQ. dLQ \TOGO RASSMOTRIM OTNESENNU@ K EDINICE OB_EMA MO]- NOSTX PRILOVENNYH K ^ASTICE POWERHNOSTNYH SIL
1 |
Z |
~ |
|
V |
|||
~vdF = vi@kPik + Sik Pik : |
|||
|
@V |
|
pRI POLU^ENII POSLEDNEGO SOOTNO[ENIQ MY WOSPOLXZOWALISX LEGKO PRO- WERQEMYM TOVDESTWOM
vi@kPik = @k(viPik) ; (@kvi)Pik
TEOREMOJ gAUSA I PRINQLI WO WNIMANIE SIMMETRI^NOSTX TENZORA Pik. mY WIDIM, ^TO MO]NOSTX OB_EMNYH SIL POLNOSTX@ IDET NA IZMENE-
NIE KINETI^ESKOJ \NERGII VIDKOJ ^ASTICY, W TO WREMQ KAK MO]NOSTX POWERHNOSTNYH SIL { TOLXKO ^ASTI^NO. tAKIM OBRAZOM,
W BALANSE \NERGII VIDKOJ ^ASTICY SLEDUET U^ITYWATX NE TOLXKO IZ- MENENIE MEHANI^ESKOJ, NO I WNUTRENNEJ \NERGII, I SLEDOWATELXNO, NE- OBHODIMO U^ITYWATX TERMODINAMIKU SPLO[NOJ SREDY.
19
2.5|LEMENTY TERMODINAMIKI
uRAWNENIE NEPRERYWNOSTI I ZAKON IZMENENIQ IMPULXSA SPLO[NOJ SREDY POZWOLQ@T OPREDELITX POLE SKOROSTEJ I POLE PLOTNOSTI DLQ SISTEMY, W KOTOROJ ZADANO POLE NAPRQVENIJ I POLE MASSOWYH SIL. oDNAKO W OBY^NOJ POSTANOWKE ZADA^ MY NE RASPOLAGAEM STOLX DETALXNOJ INFORMACIEJ, NE ZADANO, W ^ASTOSTI, POLE NAPRQVENIJ. w \TOM SLU^AE NEOBHODIMY DOPOL- NITELXNYE SOOTNO[ENIQ, ^ASTX IZ KOTORYH FENOMENOLOGI^ESKIE, A ^ASTX MOGUT BYTX POLU^ENY W RAMKAH TERMODINAMIKI. sTROGO GOWORQ, NEOB- HODIMOSTX WKD@^ENIQ W RASSMOTRENIE TAKIH ^ISTO TERMODINAMI^ESKIH PONQTIJ, KAK WNUTRENNQQ \NERGIQ, BYLA OTME^ENA W PREDYDU]EM PARA- GRAFE.
rAWNOWESNYM MY BUDEM NAZYWATX SOSTOQNIE, W KOTOROM WSE MAKRO- SKOPI^ESKIE PARAMETRY SREDY NE ZAWISQT OT WREMENI, A MAKROSKOPI- ^ESKIE POTOKI OTSUTSTWU@T.
pREDPOLAGAETSQ, ^TO TAKIE SOSTOQNIQ SU]ESTWU@T (NULEWOE NA^ALO TER- MODINAMIKI).
nIVE MY WS@DU BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO PROISHODQ]IE PROCESSY DO- STATO^NO MEDLENNYE, TAK ^TO W OBLASTQH DOSTATO^NO BOLX[IH, TAK ^TO IH LINEJNYMI RAZMERAMI MY PRENEBRE^X NE MOVEM, NO MNOGO MENX[IH RAZMEROW SISTEMY W CELOM USPEWAET USTANOWITXSQ LOKALXNOE TERMODINAMI^ESKOE RAWNOWESIE. tAK ^TO LOKALXNO SPRAWEDLIWY SOOTNO[ENIQ RAWNOWESNOJ TERMODINAMIKI.
wERNEMSQ K WNUTRENNEJ \NERGII. wOZDEJSTWIE NA TERMODINAMI^ESKU@ SISTEMU WNE[NIH TEL, PREWODQ]EE K IZMENENI@ WNUTRENNEJ \NERGII, USLOW- NO PODRAZDELQETSQ NA MEHANI^ESKOE, SWQZANNOE S SOWER[ENIEM MEHANI^ES- KOJ RABOTY, I TEPLOWOE. wO WTOROM SLU^AE MY GOWORIM O PEREDANNOM SIS- TEME KOLI^ESTWE TEPLOTY. pERWOE NA^ALO TERMODINAMIKI { \TO ZAKON SOHRANENIQ \NERGII PRIMENITELXNO K TEPLOWYM PROCESSAM. oN GLASIT, ^TO
dE = Q ; A :
w ZAPISI WTOROGO NA^ALA TERMODINAMIKI OTRAVEN TOT FAKT, ^TO, W OTLI- ^IE OT WNUTRENNEJ \NERGII, KOLI^ESTWO TEPLOTY I MEHANI^ESKAQ RABOTA NE QWLQ@TSQ TOLXKO FUNKCIQMI NA^ALXNOGO I KONE^NOGO SOSTOQNIJ (IH PRIRA]ENIQ NE QWLQ@TSQ POLNYMI DIFFERENCIALAMI), T.K. ZAWISQT OT
20
PROCESSA, W REZULXTATE KOTOROGO \TOT PEREHOD BYL SOWER[EN. wWODQ WEKTOR PLOTNOSTI POTOKA TEPLA ~q
Q |
= ; Z |
~qd~ = ;Z @iqid3x = ;V @iqi |
dt |
||
|
@V |
V |
ISPOLXZUQ REZULXTATY PREDYDU]EGO PARAGRAFA I PEREHODQ K WELI^INAM, OTNESENNYM K EDINICE MASSY, MY POLU^AEM
dedt = Pik vik ; @iqi :
|TO NAIBOLEE ^ASTO ISPOLXZUEMAQ W MEHANIKE SPLO[NYH SRED FORMA PER- WOGO NA^ALA TERMODINAMIKI.
dIFFERENCIALXNAQ FORMA PERWOGO NA^ALA TERMODINAMIKI POZWOLQET WWESTI DLQ OPISANIQ PROCESSOW TEPLOPEREDA^I E]E ODNU FUNKCI@ TERMO- DINAMI^ESKOGO SOSTOQNIQ SISTEMY { \NTROPI@ S. pRI \TOM
Q T dS :
pRI \TOM RAWENSTWO REALIZUETSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA PROCESS OB- RATIM. |TO UTWERVDENIE SOSTAWLQET SODERVANIE WTOROGO NA^ALA TER-
MODINAMIKI.
tAKIM OBRAZOM W OB]EM SLU^AE NEOBRATIMYH PROCESSOW
T dS = Q + QD QD 0 : oTKUDA DLQ MASSOWOJ PLOTNOSTI s = S=m MY POLU^AEM
ds |
~ |
T dt |
= ;( q~) + D : |
w POSLEDNEM WYRAVENII MY WWELI WELI^INU IZWESTNU@ KAK DISSIPA-
TIWNAQ FUNKCIQ
D = V1 QdtD :
pOD^ERKNEM E]E RAZ, ^TO NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM OBRA- TIMOSTI PROCESSOW QWLQETSQ OBRA]ENIE W NOLX DISSIPATIWNOJ FUNKCII.
21
2.6sISTEMA URAWNENIJ DWIVENIQ
pODWEDEM ITOGI. sISTEMA URAWNENIJ DWIVENIQ SPLO[NOJ DEFORMIRUEMOJ SREDY SOSTOIT IZ URAWNENIQ NEPRERYWNOSTI
d |
~ |
|
|
dt + (r~v) = 0 |
|
ZAKONA IZMENENIQ IMPULXSA
dvdti = @kPik + fi
ZAKONA IZMENENIQ WNUTRENNEJ \NERGII (PERWOE NA^ALO TERMODINAMIKI)
de |
~ |
|
|
dt = Pik vik ; (rq~) |
|
I WTOROGO NA^ALA TERMODINAMIKI |
|
ds |
~ |
|
|
T dt = D ; (rq~) : |
|
kROME TOGO NAM UDALOSX POKAZATX, ^TO TENZOR LOKALXNYH NAPRQVENIJ SIMMETRI^EN Pik = Pki .
tAKIM OBRAZOM, W OB]EM SLU^AE ^ISLO NEZWESTNYH POLEWYH PEREMEN- NYH SU]ESTWENNO PREWY[AET ^ISLO URAWNENIJ. pO\TOMU NUVNA DOPOLNI- TELXNAQ INFORMACIQ, W ^ISLO KOTOROJ WHODIT OSNOWANNAQ NA FENOMENO- LOGII DOPOLNITELXNAQ INFORMACIQ O STRUKTURE TENZORA Pik , A TAKVE TERMI^ESKOE I KALORI^ESKOE URAWNENIQ SOSTOQNIQ.
22
gLAWA 3
iDEALXNAQ VIDKOSTX
w \TOJ GLAWE RASSMATRIWAETSQ PROSTEJ[AQ MODELX SPLO[NOJ SREDY { \TO TAK NAZYWAEMAQ IDEALXNAQ VIDKOSTX.
3.1uRAWNENIQ DWIVENIQ IDEALXNOJ VID- KOSTI
iDEALXNAQ VIDKOSTX { \TO SPLO[NAQ SREDA BEZ WQZKOSTI I TEPLOPRO- WODNOSTI I S IZOTROPNYM TENZOROM NAPRQVENIJ.
pOQSNIM SKAZANNOE. w PARAGRAFE POSWQ]ENNOSM FENOMENOLOGII MY UVE GOWORILI, ^TO WWEDENIE WQZKOSTI PRIWODIT K TOMU, ^TO OPISYWAE- MYE SISTEMOJ URAWNENIJ SPLO[NOJ SREDY PROCESSY STANOWQTSQ NEOBRA- TIMYMI. pO\TOMU OTSUTSTWIE WQZKOSTI SOOTWETSTWUET OBRA]ENI@ W NOLX DISSIPATIWNOJ FUNKCII D. iZOTROPNOSTX TENZORA NAPRQVENIJ OZNA^AET, ^TO PRI L@BYH ORTOGONALXNYH PREOBRAZOWANIQH SISTEMY KOOTDINAT \TOT TENZOR DOLVEN PEREHODITX SAM W SEBQ. mATEMATIKA U^IT, ^TO EDINSTWEN- NYM TENZOROM, UDOWLETWORQ@]IM \TOMU TREBOWANI@, QWLQETSQ METRIKA. sLEDOWATELXNO
|
dFiPOW = |
|
Pik(~x t) = ;p(~x t) ik : |
oTKUDA |
; |
pd i , I SLEDOWATELXNO, W L@BOJ TO^KE KASATELX- |
NYE NAPRQVENIQ RAWNY NUL@, A WSE NORMALXNYE ODINAKOWY (NO, WOOB]E GOWORQ, ZAWISQT OT TO^KI I MOMENTA WREMENI).
23
zAMETIM, ^TO W IDEALXNOM GAZE p > 0, W TO WREMQ KAK W OB]EM SLU^AE VIDKOSTI p MOVET IMETX OBA ZNAKA.
pRI SFORMULIROWANNYH OGRANI^ENIQH URAWNENIQ DWIVENIQ SREDY PRI- OBRETA@T SLEDU@]IJ WID
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = ;p(r~v) () dt = ; dt( ) |
|||||
I |
|
|
|
|
|
d |
|
ds = 0 : |
|
1 d |
|
|
dt |
|
|||
|
~ |
~ |
|
|
|
dt + (r~v) = 0 () (r~v) = ; dt |
|||||
|
d~v |
~ |
~ |
|
|
|
dt |
= ;rp + f |
|||
\TO URAWNENIE IZWESTNO KAK URAWNENIE |JLERA, |
|||||
de |
|
de |
|
d 1 |
|
pOSKOLXKU W MEHANI^ESKIH SPLO[NYV SREDAH IZU^A@TSQ LOKALXNO RAWNOWESNYE SOSTOQNIQ, TO \TA SISTEMA DOLVNA BYTX DOPOLNITELNENA TERMO-
DINAMI^ESKIMI p = p( T ) I KALORI^ESKIM e = e( T ) URAWNENI-
QMI SOSTOQNIQ, KOTORYE OPREDELQ@TSQ IZ OPYTNYH DANNYH DLQ SISTEMY W RAWNOWESNOM SOSTOQNII.
wYPISANNAQ WY[E SISTEMA URAWNENIJ NAZYWAETSQ URAWNENIQMI DWI-
VENIQ IDEALXNOJ VIDKOSTI.
oBRATIM WNIMANIE NA TO, ^TO OB]EM SLU^AE PLOTNOSTX SREDY QWLQETSQ FUNKCIEJ TEMPERATURY I DAWLENIQ = (p T ) . eSLI DOPOLNITELXNYE USLOWIQ WYPOLNQ@]IESQ PRI DWIVENII VIDKOSTI POZWOLQ@T USTANOWITX ZAWISIMOSTX PLOTNOSTI TOLXKO KAK FUNKCI@ DAWLENIQ = (p) , TO PROCESSY QWLQ@TSQ NAZYWA@TSQ BAROTROPNYMI.
w SLU^AE IDEALXNOJ VIDKOSTI MY RASSMOTRIM DWIVENIE VIDKOSTI W OTSUTSTWII TEPLOOBMENA MEVDU RAZLI^NYMI EE U^ASTKAMI, A TAKVE MEVDU VIDKOSTX@ I WNE[NIM OKRUVENIEM. |TO OZNA^AET, ^TO DWIVENIE PROISHODIT ADIABATI^ESKI W KAVDOM IZ ee \LEMENTOW I \NTROPIQ KAVDOJ VIDKOJ ^ASTICY OSTAETSQ POSTOQNNOJ. pOSKOLXKU \NTROPIQ { FUNKCIQ SOSTOQNIQ \TO POZWOLQET W KAVDOM DOSTATO^NO MALOM \LEMENTE VIDKOSTI WYRAZITX DAWLENIE KAK FUNKCI@ PLOTNOSTI PRI FIKSIROWANNOM s = s0 , T.E. DWIVENIE QWLQETSQ BAROTROPNYM.
24
eSLI W NEKOTORYJ NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI \NTROPIQ ODINAKOWA WO WSEH TO^KAH SPLO[NOJ SREDY, TO USLOWIE ADIABATI^NOSTI DWIVENIQ VID- KOSTI MOVNO PROSTO ZAPISATX W WIDE s = const. tAKOE DWIVENIE NAZYWA@T
IZO\NTROPI^ESKIM.
wERNEMSQ K IDEALXNOJ VIDKOSTI. sU]ESTWENNO, ^TO W PRAWU@ ^ASTX SOOTWETSTWU@]IH URAWNENIJ DWIVENIQ WMESTO [ESTI NEIZWESTNYH POLE- WYH FUNKCIJ Pij (~x t) WHODIT WSEGO ODNA FUNKCIQ { DAWLENIE p(~x t) . tAKIM OBRAZOM, DWIVENIE OPISYWAETSQ SISTEMOJ IZ PQTI URAWNENIJ { URAWNEIQ NEPRERYWNOSTI, |JLERA I USLOWIQ IZO\NTROPIJNOSTI.
pRI \TOM IZMENENIE UDELXNOJ WNUTRENNEJ \NERGII OPREDELQETSQ PER- WYM NA^ALOM TERMODINAMIKI.
eSLI K UVE WYPISANNOJ SISTEME URAWNENIJ DOBAWITX TERMI^ESKOE URAWNENIE SOSTOQNIQ p = p( T ) I KALORI^ESKOE URAWNENIE, e = e( T ) , TO MY POLU^IM SISTEMU URAWNENIJ, OPISYWA@]U@ IZ\NTROPI- ^ESKIE DWIVENIQ IDEALXNOJ VIDKOSTI. pRI IZ\NTROPI^ESKOM DWIVENII IDEALXNOJ VIDKOSTI
dp = dh :
GDE h = e + p= { UDELXNAQ \NTALXPIQ VIDKOSTI.
|TO POZWOLQET ZAPISATX URAWNENIE |JLERA DLQ BAROTROPNOGO DWIVE- NIQ W FORME gROMEKI-l\MBA. dLQ \TOGO WOSPOLXZUEMSQ SOOTNO[ENIEM
|
d~v |
@~v |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
= @t + ~v r ~v |
|
|
|
|||
I SLEDU@]IM LEGKO PROWERQEMYM RAWENSTWOM |
|
|
|
|
||||
~ |
v2 |
~ |
|
1 ~ |
2 |
|
~ |
|
~v r ~v = r 2 ; h~v hr ~vii = 2rv |
|
; h~v [r ~v]i : |
|
|||||
tOGDA W SLU^AE POTENCIALXNOJ WNE[NEJ SILY, KOGDA |
~ |
~ |
||||||
f = ;rU , MY |
||||||||
POLU^IM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@~v |
|
~ |
v2 |
|
|
|
|
|
@t + 2 (!~ ~v) = ;r 2 + h + U! : |
|
||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
zDESX MY ISPOLXZOWALI SOOTNO[ENIE |
|
(r ~v) = 2~! . |
|
|
||||
25
3.2iNTEGRALY URAWNENIJ DWIVENIQ IDEALX- NOJ VIDKOSTI
3.2.1iNTEGRAL bERNULLI
rASSMOTRIM STACIONARNOE TE^ENIE IDEALXNOJ VIDKOSTI. sTACIONARNYM ILI USTANOWIW[IMSQ NAZYWA@T TE^ENIE VIDKOSTI, PRI KOTOROM POLE SKOROSTEJ NE ZAWISIT OT WREMENI QWNO, TAK ^TO @t~v = 0 .
uMNOVIM URAWNENIE |JLERA W FORME gROMEKI-l\MBA WEKTOR SKOROSTI ~v , POLU^IM, ^TO W SLU^AE STACIONARNOGO IZ\NTROPI^ESKOGO DWIVENIQ IDEALXNOJ VIDKOSTI, NAHODQ]EJSQ W POLE KONSERWATIWNYH MASSOWYH SIL, WELI^INA v22 + h + U POSTOQNNA WDOLX KAVDOJ LINII TOKA.
v2 + w + U = const:
2
pRI \TOM ZNA^ENIE \TOJ POSTOQNNOJ, WOOB]E GOWORQ, RAZLI^NO DLQ RAZNYH LINIJ TOKA. pOLU^ENNOE SOOTNO[ENIE NAZYWAETSQ INTEGRALOM bERNUL-
LI.
eSLI UMNOVITX URAWNENIE |JLERA SKALQRNO NA WEKTOR WIHRQ, TO MY POLU^IM, ^TO INTEGRAL bERNULLI SOHRANQETSQ I WDOLX LINII WIHRQ. tA- KIM OBRAZOM, INTEGRAL bERNULLI SOHRANQETSQ NA POWERHNOSTI, NATQNUTOJ NA LINI@ TOKA I WIHRQ, PROHODQ]U@ ^EREZ WYBRANNU@ LINI@ TOKA.
3.2.2iNTEGRAL kO[I
rASSMOTRIM TEPERX BEZWIHREWOE IZ\NTROPI^ESKOE DWIVENIE IDEALXNOJ VIDKOSTI, NAHODQ]EJSQ W POLE KONSERWATIWNYH MASSOWYH SIL. bEZWIHREWYM ILI POTENCIALXNYM NAZYWA@T DWIVENIQ VIDKOSTI, PRI KOTO- ROM WO WSEM PROSTRANSTWE
|
1 |
~ |
!~ = |
2 |
r ~v = 0 : |
w \TOM SLU^AE POLE SKOROSTEJ POTENCIALXNO, T.E. MOVET BYTX PRED- STAWLENO W WIDE
~
~v = (r )
PRI \TOM SKALQRNAQ FUNKCIQ KOORDINAT I WREMENI (x~ ) NAZYWAETSQ
POTENCIALOM SKOROSTI.
26
pODSTAWIW \TI WYRAVENIQ DLQ SKOROSTI I WIHRQ W URAWNENIE gROMEKI-
l\MBA, POLU^IM |
|
v2 |
~ |
@ |
|
|
+ 2 + h + U! = 0: |
|
r @t |
||
pOLU^ENNOE URAWNENIE MOVNO PROINTEGRIROWATX |
||
@ |
v2 |
|
@t |
+ |
2 + h + U = f(t) |
GDE f(t) { PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ WREMENI. |TOT INTEGRAL NAZYWAETSQ
INTEGRALOM kO[I.
zAMETIM, ^TO PRI STACIONARNOM DWIVENII, KOGDA @t = 0 f(t) = const , I INTEGRAL kO[I PEREHODIT W INTEGRAL bERNULLI, NO TEPERX
v2 + w + U = const
2
POSTOQNNO I ODINAKOWO WO WSEM OB_EME VIDKOSTI.
3.2.3tEOREMA OB IZMENENII \NERGII
rASSMOTRIM IZMENENIE SO WREMENEM \NERGII, PRIHODQ]EJSQ NA EDINICU OB_EMA NEPODWIVNOGO \LEMENTA VIDKOSTI. w SLU^AE, KOGDA OB_EMNYE SILY OTSUTSTWU@T, ONO DAETSQ WYRAVENIEM
@ |
|
v2 |
|
|
2 + e! : |
@t |
wOSPOLXZUEMSQ O^EWIDNYM SOOTNO[ENIEM
@ |
|
v2 |
d |
|
v2 |
~ |
v2 |
|
|
|
2 + e! = dt |
|
|
+ e! : |
|||
@t |
2 + e! ; ~vr 2 |
|||||||
wSPOMNIM TAKVE, ^TO W SILU URAWNENIJ DWIVENIQ IDEALXNOJ VIDKOSTI
d |
|
~ |
|
|
|
|
|
dt + r~v = 0 |
|||
|
~ |
p |
! |
|
|
||
@t~v = ;r e + |
|||
27
de |
~ |
|
|
dt = ;p r~v : |
|
kROME TOGO, pOLU^ENNYJ W PUNKTE 3.2 ZAKON IZMENENIQ KINETI^ESKOJ \NERGII W SLU^AE IDEALXNOJ VIDKOSTI DAET
d |
v2 |
~ |
|
|
|
|
|
dt |
2 ! = ; ~vr : |
||
w REZULXTATE NETRUDNO POKAZATX, ^TO W SLU^AE IZO\NTROPIJNOGO DWI- VENIQ IDEALXNOJ VIDKOSTI W OTSUTSTWII OB_EMNYH SIL IMEET MESTO SO- OTNO[ENIE
@ |
|
|
v2 |
+ e! |
+ r" ~v |
v2 |
p |
!# = 0 : |
||
|
|
|
|
2 |
2 + e + |
|
||||
|
@t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
tAKIM OBRAZOM WEKTOR |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
~ |
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j = ~v |
2 + h! |
|
|
||
SLEDUET INTERPRETIROWATX KAK WEKTOR PLOTNOSTI POTOKA \NERGII IDEALXNOJ VIDKOSTI.
rASSMOTRIM \TO WYRAVENIE PODROBNEE. pROINTEGRIRUEM OBE ^ASTI PO-
LU^ENNOGO RAWENSTWA PO OB_EMU V |
I WOSPOLXZUETSQ TEOREMOJ gAUSSA |
|||||||
|
d |
|
v2 |
|
|
v2 |
|
|
|
|
Z |
d3x( |
2 + e) = ; Z |
d~ ~v( |
|
+ e) ; Z d~~vp |
|
|
dt |
2 |
||||||
|
|
V |
|
|
@V |
|
|
@V |
GDE PERWYJ ^LEN { \TO \NERGIQ, KOTORAQ NEPOSREDSTWENNO PERENOSITSQ VIDKOSTX@, A WTOROJ { RABOTA SIL DAWLENIQ NAD VIDKOSTX@, KOTORAQ ZAKL@^ENA W OB_EME, W EDINICU WREMENI.
pOSTUPAQ ANALOGI^NYM OBRAZOM, MY POLU^IM, ^TO
@t@ ( vi) + @k ik = 0
GDE ik = p ik + vivk { TENZOR PLOTNOSTI POTOKA IMPULXSA IDEALXNOJ VIDKOSTI.
28