II семестр / Математический анализ - вопросы 2-го семестра

Вопросы по экзамену по математическому анализу (2 семестр 2001/2002 года)

1. Функции многих переменных

Частные производные. Независимость старших производных от порядка суммирования. Дифференцируемость функции m переменных. Условия дифференцируемости.

Дифференцируемость сложной функции. Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифф-ла. Геом. смысл диф-сти ф-ции 2 переменных (понятие касат. плоскости, сущ-вование касат. плоскости у графика диф-емой ф-ции). Производная по направлению и градиент. Диф-лы высших порядков. Символические ф-лы для диф-лов. Ф-ла Тейлора. Локальный экстремум (необх. усл-е экстремума, дост. усл-е экстр., случай 2-х независ. переменных).

2. Неявные ф-ции

Понятие неявной ф-ции. Теоремы о неявной ф-ции, опр. одним ур-ем. Теорема о неявных ф-циях, опр. сис-мой ур-й. Ф-циональный определитель (якобиан). Понятие зависимости и независимости ф-ций. Примеры зависимых и назвисимых ф-ций. Общая теорема о зависимости и независимости ф-ций (без док-ва). Условный экстремум. Сведение задачи об усл экстр. к задаче о безусл экстр. Метод Лагранжа. Необх. по Лагранжу усл-я усл. экстр. Дост. усл-я усл. экстр.

3. Определенный интеграл.

Интегральные суммы. Предел инт. сумм. Понятие опр. инт-ла. Верхние и нижние суммы Дарбу, их свойства. Необх. и дост. усл-я интегрируемости ф-ций. Классы интегрируемых ф-ций. Св-ва опр. инт. Ф-лы среднего значения. Сущ-вование первообразной непрерывной ф-ции. Ф-ла Ньютона-Ляйбница. Замена переменной. Интегрирование по частям. Геом. приложение опр. инт-ла (длина кривой, площадь плоской фигуры). Примеры физ. приложений опр. инт. Методы приближенного вычисления опр. инт-лов: метод прямоугольников (с обоснованием ф-лы остаточного члена), метод трапеций, метод парабол.

4. Кратные интегралы.

Двойной инт-л. Сведение 2-йного инт-ла к повторному. Замена переменных в 2-йном инт-ле. Криволинейные координаты на плоскости.

Тройной инт-л. Сведение 3-йного инт-ла к повторному. Замена переменны в 3-йном инт-ле. Криволинейные координаты в пространстве. Цилиндрические и сферические координаты.

Геом. и физ. приложения кратных инт-лов. Ф-ла Грина. Усл-я независимости криволинейного инт-ла 2 рода от пути интегрирования.

5. Криволинейные инт-лы.

Криволинейные инт-лы 1 рода (определение, вычисление с помощью определенного интеграла). Криволинейные инт-лы 2 рода (определение, вычисление с помощью определенного интеграла, связь с криволинейными инт-лами 1 рода). Физ. приложения криволинейных инт-лов.

6. Приложения дифференциального исчисления к исследованию плоских кривых.

Касание плоских кривых. Огибающая однопараметрического семейства кривых. Необх. усл-е огибающей. Кривизна плоской кривой.

Конец формы